9.4.2 Homogenní lineární diferenciální rovnice
s konstantními koeficienty 
Definice
Homogenní lineární diferenciální rovnicí s konstantními koeficienty rozumíme rovnici
,
kde koeficienty 
jsou
konstanty nezávislé na proměnné 
.
Věta (metoda řešení)
Předpokládáme řešení ve tvaru 
. Po dosazení
do homogenní rovnice a vydělení rovnice výrazem 
obdržíme tzv.
charakteristickou rovnici
,
což je
algebraická rovnice n-tého stupně pro neznámou 
. Tato rovnice
má právě n kořenů 
.
Mohou nastat dva případy:
·
Všechny
kořeny jsou navzájem různé; pak fundamentální systém homogenní rovnice je
tvořen n funkcemi 
.
·
Je-li některý kořen 
r-násobný, pak
mu ve fundamentálním systému odpovídá r (lineárně nezávislých) funkcí
.
Poznámka
Předchozí větou je nalezení fundamentálního systému vyřešeno až na jeden detail. Kořeny charakteristické rovnice mohou totiž být obecně komplexní, a pak jsou komplexní také příslušné funkce fundamentálního systému. Pokud pracujeme v reálném oboru (a to je náš případ), zajímají nás přednostně reálná řešení. Ukazuje se, že je možné nežádoucí komplexní řešení nahradit reálnými.
Věta (nalezení reálného fundamentálního systému)
Jsou-li konstanty 
reálné, musí
(jak plyne z teorie algebraických rovnic) ke každému komplexnímu kořenu
charakteristické
rovnice existovat také kořen komplexně sdružený 
, a to stejné
násobnosti. Místo abychom do fundamentálního systému vzali komplexní funkce
, 
, použijeme jejich
vhodné lineární kombinace, a to takové, aby výsledné funkce byly opět nezávislé,
a přitom reálné. Na základě Eulerůva vzorce z teorie komplexních čísel
je zřejmé, že nejjednodušší je vzít lineární kombinace
a 
,
tzn. reálnou a imaginární část.
Pokud jsou kořeny 
, 
r-násobné,
vezmeme dále do fundamentálního systému reálné funkce
, 
, …, 
, 
.
Tím je problém nalezení reálného fundamentálního systému úspěšně uzavřen.