9.4.3 Nehomogenní lineární diferenciální
rovnice s konstantními koeficienty 
Definice
Nehomogenní lineární diferenciální rovnicí s konstantními koeficienty rozumíme rovnici tvaru
,
kde 
jsou konstanty.
Na pravé straně vystupuje funkce 
různá od funkce
nulové.
Poznámka
Z teorie obecné lineární diferenciální rovnice (viz kapitola 9.4) víme, že obecný integrál nehomogenní rovnice můžeme psát ve tvaru
,
kde 
, 
, …, 
tvoří fundamentální
systém homogenní rovnice, 
, 
, …, 
jsou libovolné
konstanty a 
je jakékoliv
řešení (partikulární
integrál) nehomogenní rovnice. Určit fundamentální systém homogenní
rovnice již umíme stejně jako vypočítat partikulární integrál metodou variace
konstant. Metoda variace konstant ale není vždy tou nejrychlejší a nejsnazší
cestou. Pro některé funkce 
(tzv. speciální
pravé strany) můžeme totiž tvar partikulárního integrálu 
předem určit
a následně jednoduše dopočítat. Hovoří o tom následující věta.
Věta (speciální
pravá strana)
Nechť pravá strana lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty má tvar
,
kde 
, 
jsou mnohočleny
obecně různého, nejvýše však s-tého stupně s reálnými koeficienty
a 
jsou libovolná
reálná čísla.
Jestliže není 
(a tedy ani 
) kořenem charakteristické
rovnice, pak partikulární integrál má tvar
,
kde 
, 
jsou (zatím neznámé)
mnohočleny nejvýše s-tého stupně.
Obecněji, je-li 
(a tedy i 
) r-násobným
kořenem charakteristické rovnice, pak partikulární integrál má tvar
,
kde 
, 
jsou mnohočleny
nejvýše s-tého stupně.
Definice
Funkci
nazýváme v této
souvislosti speciální pravou stranou.
Poznámka
·
Uvedená speciální pravá strana zahrnuje širokou třídu funkcí,
se kterou v praxi obvykle vystačíme. Tak např. pro 
, 
přechází pravá
strana v polynom 
, pro 
, 
a 
dostáváme na
pravé straně exponenciální funkci 
, pro 
, 
, 
a 
(resp. 
a 
) dostaneme 
(resp. 
) apod.
·
Z předchozí poznámky a poslední věty plyne, že je-li pravá
strana ve tvaru polynomu, je třeba při hledání partikulárního integrálu vyšetřit,
zda charakteristická rovnice nemá kořen 
. Pokud je na
pravé straně exponenciála 
, je nutné vyšetřit
existenci kořene 
, a pokud je na
pravé straně funkce 
nebo 
, je třeba učinit
totéž pro hodnotu 
.
·
Pozor na případ, kdy je na pravé straně pouze jedna z funkcí
, 
. Partikulární
integrál 
musíme hledat
(v souladu s poslední větou) ve tvaru, obsahujícím obě tyto goniometrické
funkce.
Poznámka
Provedeme-li správně určení tvaru partikulárního řešení 
, pak jediné,
co zbývá, je dopočítat zatím neznámé koeficienty polynomů 
a 
. To provedeme
následovně: Nejprve dosadíme předpokládaný tvar partikulárního integrálu 
a jeho potřebné
derivace do původní (nehomogenní) rovnice za neznámou 
a její derivace.
Obdržíme tak jednu rovnici pro neznámé koeficienty polynomů 
a 
, kterou řešíme
tzv. metodou neurčitých koeficientů. Tato z algebry
známá metoda spočívá v porovnání koeficientů u jednotlivých lineárně
nezávislých funkcí na obou stranách rovnice. Z provedeného porovnání
obdržíme potřebný počet rovnic pro jednoznačné určení hledaných koeficientů
polynomů 
a 
. Výsledný partikulární
integrál 
je možné ověřit
přímým dosazením do původní (nehomogenní) rovnice.
Poznámka
Jestliže
má pravá strana tvar součtu funkcí uvedeného
speciálního tvaru (které se od sebe liší různou hodnotou čísel 
, resp. 
), je také partikulární
integrál součtem příslušných partikulárních integrálů. Tyto partikulární integrály,
příslušné jednotlivým sčítancům na pravé straně, lze hledat každý zvlášť metodou
popsanou výše a výsledky sečíst.