Funkce má nulové obě první derivace v bodě (1,2).(Pozn. Ostatní nalezené body nemají reálné souřadnice.)
Zda se extrém v bodě (1,2) opravdu vyskytuje a pokud ano, tak jakého typu, o tom rozhodneme pomocí druhých parciálních derivací.
Sestavíme Hessovu matici v bodě (1,2).
Obě vlastní čísla jsou tedy kladná, Hessova matice je tedy pozitivně definitní a funkce f(x,y)=
nabývá v bodě (1,2) lokálního minima.
Na závěr můžeme znázornit graf zadané funkce na okolí bodu (1,2).
Z grafu funkce vidímě, že funkce f(x,y)=
skutečně nabývá minima v bodě (1,2).
Funkce má nulové obě první derivace ve dvou bodech: (1,1) a (0,0). (Ostatní body, které nalezl Mathcad, nemají reálné souřadnice.)
Nyní pomocí druhých derivací prověříme, zda se v těchto bodech vyskytují lokální extrémy a pokud ano, tak určíme jejich typ.
a) bod (1,1)
Sestavíme Hessovu matici v bodě (1,1).
Obě vlastní čísla jsou tedy kladná, Hessova matice je tedy pozitivně definitní a funkce f(x,y)=
nabývá v bodě (1,1) lokálního minima.
Na závěr můžeme znázornit graf zadané funkce na okolí bodu (1,1). Z grafu funkce vidímě, že funkce f(x,y)=
skutečně nabývá minima v bodě (1,1).
Vlastní čísla mají různá znaménka, Hessova matice je tedy indefinitní a funkce f(x,y)=
má v bodě (0,0) sedlový bod.
U funkce dvou proměnných lze sedlový bod graficky znázornit. Zobrazíme si graf zadané funkce na okolí sedlového bodu.
Na závěr si znázorníme graf funkce f na oblasti obsahující oba stacionární body, tzn. lokální minimum v bodě (1,1) i sedlový bod v bodě (0,0).
Postup je stejný jako v předcházejících případech. Nejdříve hledáme nulové body prvních parciálních derivací.
Existuje tedy jediný bod (1,0,1), v němž může zadaná funkce lokálního extrému nabývat.
Ověření, zda je tento bod skutečně bodem lokálního extrému, provedeme pomocí druhých derivací, přesněji podle znamének vlastních čísel matice
Matice A má tedy v bodě (1,0,1) tvar:
Vlastní čísla diagonální matice jsou rovny číslům na hlavní diagonále. Můžeme je přesto vypočítat programem Mathcad.
Vlastní čísla matice A mají různá znaménka, v bodě (1,0,1) tedy není lokální extrém, ale jen sedlový bod.
Graf funkce tří proměnných se znázornit nedá, jedná se o trojrozměrnou "plochu" ve čtyřrozměrném prostoru. Můžeme se ale pokusit znázornit např. tři řezy grafem této funkce procházejícími sedlovým bodem na okolí tohoto sedlového bodu, např. rovinami x=1, y=0 a z=1.
Řez grafu rovinou x=1 procházející sedlovým bodem:
