2.4 Totální diferenciál, Taylorův rozvoj

Teorii naleznete v kapitole 5.7 a 5.8 Multimediální encyklopedie nebo v kapitole 2.4 Breviáře.

Příklad 1

Pomocí věty o totálním diferenciálu nahraďte na okolí bodu

a= funkci f(x,y)= funkcí lineární.

Řešení

Pro lepší představu si znázorníme graf zadané funkce. Jedná se o rotační paraboloid.

Pro funkci dvou proměnných f(x,y) je hledaná lineární funkce tečnou rovinou ke grafu zadané funce f(x,y) v bodě a=(ax,ay).

Obecný vzorec pro náhradu funkce f(x,y) na okolí bodu a=(ax,ay) funkcí lineární zní:

f(x,y)≈.

Potřebujeme tedy vypočítat funkční hodnotu a obě první parciální derivace v bodě a.

Funkční hodnota v bodě a=:

:

:

Můžeme tedy zapsat lineární funkci, která na blízkém okolí bodu a nahrazuje funkci zadanou:

f(x,y)≈

Výsledný tvar lineární funkce můžeme ještě zjednodušit:

Na závěr si znázorníme graf zadané funkce f(x,y) i graf funkce lineární. Z obrázku je zřejmé, že totální diferenciál může nahradit funkci jen na "malém" okolí bodu

Příklad 2

Pomocí věty o totálním diferenciálu určete přibližně .

Řešení

Je zřejmé, že zadaný výpočet můžeme provézt i bez použití kalkulačky pomocí totálního diferenciálu funkce f(x,y)= v bodě a=(3,1). K tomu potřebujeme znát f(3,1), a .

:

:

Dosadíme do vzorce pro náhradu funkce funkcí lineární:

f(x,y)≈

≈

≈

Přesná hodnota je:

Na závěr pro lepší představu o našich výpočtech si znázorníme graf funkce f(x,y)= na okolí bodu (3,1), tzn. např. na intervalu <1,5>x<-1,1>:

V grafu urostřed zvoleného intervalu <1,5>x<-1,1> leží bod (3,1). Tímto bodem proložíme tečnou rovinu ke grafu funkce. Funční hodnotu určíme přibližně pomocí totálního diferenciálu jako funkční hodnotu tečné roviny v bodě (3,1) ke grafu funkce zadané. (Pozn. Srovnejte totální diferenciál s prvním diferenciálem funkce jedné proměnné. Tam jsme funkční hodnotu v bodě x na okolí bodu a určovali jako funkční hodnotu lineární funkce - v případě funkce jedné proměnné jako funkční hodnotu v bodu x přímky, která je tečnou ke grafu funkce v bodě a.)

Bod (3.05, 0.99) je velmi blízký bodu (3,1), ve kterém jsme tečnou rovinu konstruovali. Proto není divu, že náš odhad čísla je velice přesný. Chceme-li dosáhnout lepší aproximace zadané funkce na okolí bodu a, musíme použít Taylorův polynom.

Příklad 3

Nalezněte postupně Taylorůvy polynomy prvního, druhého, čtvrtého a osmého stupně funkce f(x,y)= na okolí bodu a=(0,0) a znázorněte jejich grafy.

Řešení

Pro lepší představu si zobrazíme i graf zadané funkce f(x,y)=:

Postup výpočtu tohoto příkladu je podobný jako v Příkladu1, pouze obecné vzorce pro hledané Taylorovy polynomy vyšších řádů budou složitější:

≈

≈

atd.

Výpočet (Pozn. Taylorův polynom 1. řádu je vlastně totální diferenciál.)

Pro výpočet Taylorových polynomů použijeme v Mathcadu funkci Series (2 zde znamená první dva nenulové členy taylorova rozvoje)

Aproximace pomocí tečné roviny se nám možná zdá nepřesná. Není tomu úplně tak. Záleží, jak daleko jsme od bodu, na jehož okolí jsme funkci nahradili totálním diferenciálem. Můžeme se podívat na menší okolí bodu (0,0).

Nyní vypočítáme Taylorův polynom 2. stupně (tedy 3 členy Taylorova rozvoje):

4. řád:

6. řád:

8. řád: