5.7 Totální diferenciál

Věta (o totálním diferenciálu)

Nechť funkce f(x) má na nějakém okolí bodu  a  všechny první parciální derivace, které jsou navíc v bodě  a  spojité. Pak platí [1]

.

Poznámka

Podle této věty je možno na nějakém malém okolí bodu  a,  tj. pro ta  x,  která se od  a  příliš neliší, nahradit obecnou funkci  f  jednodušší funkcí lineární. Můžeme tedy pro tato  x  psát s přibližnou platností [2]

.

Chyby, kterých se při této přibližné náhradě dopustíme, budou až druhého řádu, tj. úměrné .

Definice

Výraz    se obvykle nazývá totálním diferenciálem funkce f  v bodě  a.

Poznámka

Pečlivě porovnejte obsah této kapitoly s kapitolou věnovanou prvnímu diferenciálu funkcí jedné reálné proměnné.

[1] Pod symbolem o(x) rozumíme libovolnou funkci, která splňuje .

[2] Jistě nepřekvapí, že pro funkci dvou proměnných tato lineární funkce zadává tečnou rovinu ke grafu funkce  f  v bodě  a.