Grafem funkce f jedné proměnné x je křivka v rovině tvořena body [x, f(x)]. Grafem funkce f dvou proměnných x a y je plocha v trojrozměrném prostoru tvořena body [x, y, f(x,y)]. Obtížnější je situace u funkcí tří a více proměnných. Uvědomíme-li si, že na znázornění definičního prostoru funkce tří proměnných potřebujeme trojrozměrný prostor, funkční hodnotu musíme vynést do čtvrtého rozměru. Graf funkce tří proměnných je tedy tvořen body [x, y, z, f(x,y,z)]. U funkcí tří proměnných nebudeme schopni graficky znázornit ani definiční obor funkce. Odtud plyne, že nelze graficky znázornit graf funkcí tří a více proměnných.
Zadaná funkce f(x, y) je ale funkcí dvou proměnných, x a y, takže její graf graficky znázornit lze. Definiční obor bude tvořen všemi body [x, y] v rovině xy, pro které je funkce definována, funkční hodnotu z = f(x, y) v libovolném bodě definičního oboru funkce
f(x, y) budeme odečítat na ose z.
Je zřejmé, že hledat body nespojitosti z definice spojitosti funkce v bodě je nemožné. Museli bychom projít všech (nekonečně mnoho) bodů [x, y] a pro každý z nich pomocí (velmi komplikované) definice spojitosti funkce rozhodnout, zda je funkce v daném bodě spojitá, či ne.
V tomto přídadě ovšem využijeme znalostí spojitosti elementárních funkcí, ze kterých je zadaná funkce složena. Argumentem reálné druhé odmocniny může být pouze nezáporné číslo. Protože se ale v tomto případě vyskytuje pod odmocninou součet dvou druhých mocnin, je nezápornost argumentu odmocniny zaručena. Jediným bodem nespojitosti tedy bude bod [0,0], protože pro tento bod je jmenovatel zlomku ve funkčním předpisu roven nule.
Pro lepší představu o grafu zadané funkce si můžeme znázornit i řez grafem dané funkce, např. rovinou x=0.
Popřemýšlejme nad existencí limity v bodě (0,0). Z daného řezu grafu rovinou x=0 ovšem vidíme, že lim f(x,y) = -1, pokud se blížíme k bodu (0,0) podél záporné části osy y a lim f(x,y)= +1, pokud se blížíme k bodu (0,0) podél kladné části osy y. Odtud plyne, že oboustranná limita pro (x,y) → (0,0) neexistuje.
Výpočet je snadný, umíme-li počítat derivace funkcí jedné reálné proměnné. Musíme si jen uvědomit, že při výpočtu parciální derivace pohlížíme na všechny proměnné kromě té, podle které derivujeme, jako na konstanty.
Podle definice parciální derivace v bodě a můžeme psát:
Nejprve vypočteme limitu a pak teprve dosadíme (Mathcad totiž z neznámého důvodu není schopen vypočíst tuto limitu s předem definovanými hodnotami proměnných):
Nejprve vypočteme limitu a pak teprve dosadíme (Mathcad totiž z neznámého důvodu není schopen vypočíst tuto limitu s předem definovanými hodnotami proměnných):
Samozřejmě, výpočet parciálních derivací přímo podle jejich definice je zdlouhavý. Mathcad umí počítat parciální derivace přímo.
Funkce tří proměnných má celkem tři první parciální derivace.
Podle definice parciální derivace v bodě a můžeme psát:
Pro funkci tří proměnných existuje celkem devět (i když ne nutně různých) druhých parciálních derivací. Uveďme si výpočet alespoň některých z nich.
=
.
=
=
=
=
=
.
=
=
=
=
=
