5.3 Limity (funkcí více reálných proměnných)

definice vlastní limity
definice nevlastních limit
limity v nevlastních bodech a jednostranné limity
věta o algebře limit

Definice (redukované okolí bodu)

Pod redukovaným D-okolím bodu a = [a₁,...,a_n] rozumíme množinu  [1],  kde symbolem || || označujeme eukleidovskou normu vepsaného vektoru [2].

Definice (vlastní limita funkce více proměnných)

Nechť je funkce f(x) definována na nějakém redukovaném okolí bodu  a. Řekneme, že tato funkce má v uvedeném bodě vlastní limitu  A,  právě když [3]

  platí  .

Používáme stručný zápis .

Poznámka

Pro funkci více reálných proměnných, podobně jako pro funkci jedné reálné proměnné, platí zřejmě, že je spojitá v bodě a, právě když je její limita v tomto bodě rovna její funkční hodnotě.

Definice (nevlastní limity funkce více proměnných)

Nechť je funkce    definována na nějakém redukovaném okolí bodu  a.  Řekneme, že tato funkce má v uvedeném bodě nevlastní limitu  ,  právě když

  platí  .

Dále řekneme, že funkce  f  má v bodě  a  nevlastní limitu  ,  právě když

  platí  .

V případě nevlastních limit používáme stručný zápis .

Poznámka

Limity v nevlastních bodech ani jednostranné limity nejsou pro funkce více reálných proměnných definovány.

Věta (algebra limit)

Pro limity reálných funkcí více reálných proměnných platí stejná tvrzení o algebře limit, jaká jsme zformulovali pro funkce jedné reálné proměnné (viz zde):

,

,

,

,

pokud ovšem mají pravé strany uvedených rovností smysl.

[2] , viz též zde.

[3] Porovnejte tuto i další definice s odpovídajícími protějšky formulovanými pro funkce jedné reálné proměnné.