4.7 První diferenciál

V této kapitole si ukážeme, jak je možno obecnou diferencovatelnou funkci nahradit přibližně funkcí jednodušší - lineární. Nejdříve ale musíme uvést jednu nezbytnou pomocnou definici.

Definice

Symbolem  označujeme libovolnou funkci, která splňuje podmínku . Jedná se tedy o takovou funkci, která se blíží k nule, pokud se nezávislá proměnná  x  blíží k nule, rychleji než  x.

Věta (o prvním diferenciálu)

Nechť je funkce    definována na nějakém okolí bodu  a  a má v něm první derivaci. Pak je možno na tomto okolí psát

.

Poznámka

Podle této věty je možno obecnou funkci  f  nahradit na nějakém malém okolí bodu  a,  tj. pro ta  x,  která se od  a  příliš neliší, jednodušší funkcí lineární [1]. Můžeme tedy pro taková  x  psát s přibližnou platností

.

Chyby, kterých se při této přibližné náhradě dopustíme, budou až druhého řádu, tj. úměrné  .  Konkrétní odhady velikosti těchto chyb je možno najít v každé pokročilejší učebnici či příručce matematické analýzy (viz např. příručka Rektorysova).

Definice

Výraz  se nazývá prvním diferenciálem funkce  f  v bodě a.

Poznámka

Věta o prvním diferenciálu umožňuje nahradit některé komplikované výrazy výrazy sice přibližnými, leč značně jednoduššími, které se s úspěchem využívají jak při rychlých numerických výpočtech, tak i v rámci poruchového počtu při zjednodušování komplikovaných teoretických schémat. Hovoříme pak, vzhledem k řádu chyb, kterých se těmito úpravami dopouštíme, o přiblížení prvního řádu nebo též o lineárním přiblížení.

Některé přibližné výrazy pro počítání s čísly blízkými nule je možno najít zde.

[1] Snadno nahlédneme, že tato náhrada odpovídá v grafickém vyjádření náhradě grafu funkce jeho tečnou.