4.8 Taylorův rozvoj

V této kapitole si ukážeme, jak je možno obecnou dostatečně diferencovatelnou funkci nahradit přibližně funkcí jednodušší - polynomem. Tento postup je velmi užitečný v praktických aplikacích a je základem velmi rozšířené metody přibližného řešení obecných, často velmi komplikovaných úloh – tzv. poruchového počtu.

Definice

Symbolem  označujeme libovolnou funkci, která splňuje podmínku . Jedná se tedy o takovou funkci, která se blíží k nule, pokud se nezávislá proměnná  x  blíží k nule, rychleji než  .

Věta (Taylorova)

Nechť je funkce  f  definována na nějakém okolí bodu  a  a má v tomto bodě derivace až do řádu  n , ,  včetně. Pak je možno na tomto okolí psát

.

Poznámka

Podle této věty je možno na nějakém malém okolí bodu  a,  tj. pro ta  x,  která se od  a  příliš neliší, nahradit obecnou funkci  f  jednodušším polynomem. Můžeme tedy pro taková  x  psát s přibližnou platností

.

Chyby, kterých se při této přibližné náhradě dopustíme, budou až řádu  ,  tj. úměrné  .  Hovoříme proto o přiblížení n-tého řádu. Konkrétní odhady velikosti těchto chyb je možno najít v každé pokročilejší učebnici nebo příručce matematické analýzy [1].

Poznámka

Všimněte si, že pro    přechází Taylorova věta ve větu o prvním diferenciálu. Taylorova věta je tedy zobecněním věty o prvním diferenciálu.

Taylorovy rozvoje vybraných elementárních funkcí naleznete zde. Pro podrobnější informaci nahlédněte např. do příručky Rektorysovy.

[1] Viz např. příručka Rektorysova.