6.1 Metoda separace proměnných

 

Metoda separace proměnných je metodou řešení parciálních diferenciálních rovnic, které jsou v rámci této metody převáděny na matematicky snadněji řešitelnou soustavu obyčejných diferenciálních rovnic. Bližší poučení o ní je možno najít např. v  příručce Rektorysově [1].

 

Řešme parciální diferenciální rovnici

 

 

kde   je nějaký diferenciální operátor obsahující parciální derivace podle nezávislých proměnných    Ve fyzikálních aplikacích bývá obvykle  nebo  a nezávislé proměnné odpovídají souřadnicím (ne vždy nutně kartézským) bodové částice. Řešená parciální diferenciální rovnice je pak zpravidla stacionární Schrödingerovou rovnicí a    kde   je Hamiltonův operátor a  E  energie studovaného systému.

 

Řešení výše uvedené rovnice hledáme ve tvaru

 

 

tedy jako součin n nových funkcí, z nichž každá je funkcí jen jediné reálné proměnné.

 

Očekáváme, že po dosazení speciálního tvaru funkce  f  do původní rovnice získáme novou rovnici

 

kde diferenciální operátory    (k = 1,…,n)  již obsahují pouze obyčejné derivace podle proměnné   a  a  je nějaká konstanta. Pokud se nám podaří dosáhnout tohoto speciálního tvaru, říkáme, že řešená parciální diferenciální rovnice je v proměnných    separovatelná.

 

Nově získanou rovnici je ovšem možno převést na ekvivalentní soustavu n obyčejných diferenciálních rovnic

… ,

 

v nichž nově zavedené konstanty splňují

 

 

To proto, že pokud např. přiřadíme nezávislým proměnným    pevné hodnoty a měníme pouze proměnnou    vidíme ze separované rovnice, kterou můžeme dočasně přepsat do tvaru

 

že výraz    zůstává i při změnách    konstantní. Konstantní je totiž pravá strana uvedené rovnice. Pak ale musí existovat taková konstanta  , že

 

 

Analogickou úvahu můžeme provést i pro ostatní nezávislé proměnné.

 

Má-li být ovšem splněna původní rovnice, nemohou být konstanty    libovolné. Musí splňovat výše uvedenou vazebnou podmínku 

 

Při použití metody separace proměnných se během řešení zadané rovnice omezujeme jen na vybrané funkce speciálního tvaru. Není to na újmu obecnosti řešení? Není. Je možno například ukázat, že libovolné fyzikálně přijatelné řešení Schrödingerovy rovnice lze napsat jako lineární kombinaci takto získaných speciálních řešení.

 

Literatura

[1]           REKTORYS, K., aj. Přehled užité matematiky. 4. vyd. Praha: SNTL, 1981. 1139 s. s. 901.

Předchozí     Následující