4.9.14 Rovinný tuhý rotátor - podrobné řešení stacionární
Schrödingerovy rovnice
Stacionární Schrödingerova rovnice nabývá pro hmotný bod o hmotnosti M, který obíhá kolem počátku souřadnicové soustavy po kružnici o neměnném poloměru r (rovinný tuhý rotátor), tvaru
kde j je úhel, který svírá průvodič studovaného hmotného bodu s osou x (polární úhel). Po úpravě je možno tuto rovnici přepsat do tvaru
pro E <
0,
pro E
= 0,
pro E > 0,
kde jsme zavedli
Získané rovnice můžeme řešit obvyklým způsobem. Obecná řešení jsou pro jednotlivé případy dána vztahy
pro E < 0,
pro
E = 0,
pro E > 0,
kde A a B jsou integrační konstanty.
Funkce Y a
její první derivace musí být navíc spojité. Vzhledem k tomu, že j
je polární úhel (
), musí výše uvedená obecná řešení splňovat podmínky
z nichž plyne
A = B = 0 pro E < 0,
B = 0 pro E = 0,
k = l pro E > 0,
kde l je kladné celé číslo.
Záporné energie nejsou tedy pro rovinný tuhý rotátor povoleny. Z nezáporných energií připouští kvantová mechanika pro rovinný tuhý rotátor jen ty, které splňují podmínku
l = 0,1,2,… .
Pro vlastní funkci odpovídající nejnižší přípustné energii, l = 0, je možno psát
Vlastní vlnové funkce odpovídající kladným hodnotám kvantového čísla l, l = 1, 2, …, získáme jako lineární kombinaci
kde 
a 
Uvedené rovnice jsou lineární obyčejné diferenciální rovnice s konstantními koeficienty a nulovou pravou stranou. O způsobu jejich řešení se může čtenář poučit např. v REKTORYS, K., aj. Přehled užité matematiky. 4. vyd. Praha: SNTL, 1981. 1139 s. s. 649-652.
