4.6.1 Hamiltonova funkce nabité částice ve vnějším elektromagnetickém poli

Konstrukce klasické Hamiltonovy funkce je pro nabitou částici ve vnějším elektromagnetickém poli poměrně komplikovanou záležitostí, a to především proto, že síly na tuto částici působící závisejí nejen na její poloze, ale i na rychlosti. Výklad, který zde pro úplnost uvádíme, vyžaduje netriviální znalosti klasické mechaniky, které je možno nalézt ve specializovaných učebnicích [1]. Níže uvádíme jen shrnutí základních faktů.

Kanonická hybnost, zobecněný potenciál, klasická Hamiltonova funkce

Kanonickou hybnost bodové částice definujeme v klasické mechanice výrazem

kde L je tzv. Lagrangeova funkce studované částice, její zobecněné souřadnice (zde souřadnice kartézské) a její rychlost, .

Symbol parciální derivace na pravé straně uvedené definiční rovnosti je zkratkou pro derivování podle jednotlivých složek rychlosti (pozn.)

Lagrangeova funkce je dána rozdílem kinetické energie částice a jejího zobecněného potenciálu. V kartézských souřadnicích nabývá tvaru

kde zobecněný potenciál U může záviset obecně nejen na poloze, ale i na rychlosti studované částice. Je definován vztahem pro sílu, kterou vnější pole na tuto částici působí,

kde je operátor gradientu.

Z uvedeného vztahu bezprostředně vyplývá, že v případě rychlostně nezávislých sil splývá zobecněný potenciál U s „řádným“ potenciálem splňujícím

Hamiltonovu funkci definujeme v klasické mechanice předpisem

Obvykle ji vyjadřujeme jako funkci kanonické hybnosti polohy a případně i času t. V potenciálových polích je totožná s celkovou energií částice.

Zobecněný potenciál pro nabitou částici ve vnějším elektromagnetickém poli

Silové účinky elektromagnetického pole popsaného elektrickou intenzitou a magnetickou indukcí na částici nesoucí elektrický náboj q a pohybující se rychlostí jsou dány tzv. Lorentzovou sílou

Pomocí výše uvedené definice snadno ověříme, že pro zobecněný potenciál můžeme v tomto případě psát

Symboly j a označují skalární a vektorový potenciál studovaného elektromagnetického pole, které splňují definiční vztahy

a

kde rot je vektorový operátor rotace.

Hamiltonova funkce nabité částice ve vnějším elektromagnetickém poli

Pro Lagrangeovu funkci nabité částice v elektromagnetickém poli můžeme psát

a podle definice máme tedy pro odpovídající kanonickou hybnost

Všimněme si, že kanonická hybnost není v tomto případě totožná s hybností jak ji obvykle chápeme.

Dosazením výše uvedených výrazů pro Lagrangeovu funkci a kanonickou hybnost do definičního vztahu pro Hamiltonovu funkci získáme po nezbytných úpravách, nepředpokládáme-li působení dalších vnějších polí,

Literatura

[1] KVASNICA, J. Teorie elektromagnetického pole. 1. vyd. Praha: Academia, 1985. 450 s. s. 211-214.

( )

---

---