Nalezněte obecné a partikulární řešení diferenciální rovnice
=y splňující počáteční podmínku y(0)=2.
Nalezněte obecné a partikulární řešení diferenciální rovnice
=y splňující počáteční podmínku y(0)=2.
Jedná se o diferenciální rovnici se separovatelnými proměnnými. Rovnici přepíšeme do tvaru
=y a následně
=dx. Nyní můžeme obě strany rovnice integrovat (integrační konstanty je nutno explicitně doplnit):
Obdržíme rovnici
=
. Integrační konstanty můžeme sloučit do jediné
=
. Vyjádříme y: y=
. Uvážením, že
=
≡
, můžeme také psát y=
, což je obecné řešení dané diferenciální rovnice. Partikulární řešení s počáteční podmínkou y(0)=2 (neboli x=0 ∧ y=2) nalezneme určením konkrétní hodnoty konstanty C v rovnice 2=
; je zřejmé, že C=2. Hledané partikulární řešení proto je y=
.
Úlohu můžeme řešit také přímo pomocí vestavěného příkazu Odesolve (řešení lze však bohužel jen vykreslit).
Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, kterou lze upravit na tvar:
Neurčitou integrací obou stran rovnice získáme:
Neboli rovnici
=
, kterou lze po vynásobení obou stran dvěma a sloučením integračních konstant do jediné psát v implicitním tvaru tvaru
=C (explicitně např. y=±
). Tento výsledek je obecným řešením dané diferenciální rovnice. Partikulární řešení vyhovující podmínce y(0)=2 získáme určením integrační konstanty pro konkrétní hodnoty x=0 a y=2 (obecně tedy řešením rovnice, v našem případě též jednoduše dosazením, neboť obecné řešení
=C je rozřešeno vzhledem k integrační konstantě):
Partikulární řešení diferenciální rovnice
=0 vyhovující podmínce y(0)=2 je (v implicitním tvaru)
=4, explicitně
y=±
. Diferenciální rovnici můžeme řešit také přímo vestavěným příkazem Odesolve (lze ji bohužel vykreslit jen na intervalu <0,1.999>, více členů nezvládne, pro větší intervaly metoda krachuje):
Jedná se o homogenní diferenciální rovnici, kterou lze vydělením x2 upravit na tvar
=
. Zavedeme substituci z=
, neboli y=zx. Levá a pravá strana diferenciální rovnice potom budou:
Původní rovnici tedy převedeme na rovnici
=
, která je ve tvaru separovatelné diferenciální rovnice a kterou lze upravit na tvar:
Neurčitnou integrací obou stran rovnice získáme:
Nyní máme rovnici
=
, kterou po sloučení obou konstant do jediné můžeme psát jako
=C. Tuto rovnici vyřešíme vzhledem k proměnné x:
Zkusíme tento problém vyřešit také graficky pomocí funkce Odesolve (zvolíme náhodný nástřel y(1)=1):
Vykreslené funkce nejsou stejné, tudíž někde musí být chyba (tou se ukázal být výpočet jednoho integrálu):
Z předchozích výpočtů plyne, že skutečná hodnota integrálu
je
.
Odsud plyne, že předchozí provedené výpočty diferenciální rovnice budou:
Dostáváme stejný graf jako při použití funkce Odesolve, tudíž nyní by již mělo být všechno v pořádku.
Celkové grafické znázornění systému řešení vypadá následovně:
Jedná se o homogenní diferenciální rovnici, kterou lze upravit na tvar:
Zavedeme substituci z=
, neboli y=xz. Levá a pravá strana diferenciální rovnice potom budou:
Získáme tedy rovnici
=
, kterou lze dále přepsat do tvaru
=
, což je již separovatelná diferenciální rovnice; obě strany proto můžeme integrovat:
Výsledek zapíšeme ve tvaru x=
. Po návratu od substituce získáme x=
a vyjádříme-li
, obdržíme
=
, což je obecné řešení zadané homogenní diferenciální rovnice.
Jedná se o nehomogenní lineární diferenciální rovnici. Nejprve rovnici vyřešíme bez pravé strany, tzn. jako rovnici homogenní. Po úpravách:
je zřejmé, že se jedná o rovnici se separovatelnými proměnnými, kterou můžeme řešit integrací obou stran; následně vyjádříme y:
Po sloučení konstant do jediné a jejím přeznačení získáme y=
. Dále postupujeme metodou variace konstanty, kdy předpokládáme parametr C jako funkci C(x), tedy y=
; řešení tohoto tvaru dosadíme do původní nehomogenní rovnice a vyjádříme z ní C´(x):
Jednoduchou integrací rovnice C´(x)=
obdržíme funkci C ve tvaru C=
, kterou dosadíme do obecného řešení homogenní rovnice; po úpravě a přeznačení získáme:
=0
=0
=
=
=
=
;
=
;
=
;
=
=
;
=-y;
=
;
