4.2 Substituce ve dvojných integrálech

Podobně jako u jednorozměrných integrálů rozumíme pod substitucí náhradu původních integračních proměnných jinými. Takové substituce zjednodušují či vůbec umožní výpočet mnoha dvojných integrálů. Ve fyzice se s takovými substitucemi setkáváme nejčastěji ve formě transformačních vztahů, které popisují přechod k jinému systému souřadnic.

Příklad 1

Řešení

V dvojném integrálu je třeba provést substituci proměnných ve funkci společně s transformací součinu diferenciálů pronásobením tzv. Jacobiho determinantem (jeho absolutní hodnotou) a také odpovídající úpravu mezí integrace.

Transformace souřadnic

Nejdříve spočteme Jacobiho matici.

Jacobiho determinant umožňující přechod k integraci podle nových souřadnic můžeme určít jako:

(Zde jsme využili pro výpočet determinantu matice funkci || a pro zjednodušení obdrženého výrazu funkci Simplify.)

Mathcad také umožňuje výpočet Jacobiovy matice pouze ze zadaného transformačního vztahu (u je zde vektor u=(r,φ), jež je zapsaný ve speciální syntaxi používané při výpočtu Jacobiovy matice, tedy jako u=(u₀,u₁))

Přechod k integraci podle nových proměnných je dán vztahem dxdy=|JacobihoDeterminant|∙dr dφ=r dr dφ.

Po této substituci a substituci za x a y ve funkci a odpovídající transformaci mezí máme:

Nyní tedy konečně spočteme integrál: