7.3 Substituce ve dvojných integrálech

Podobně jako u jednorozměrných integrálů rozumíme i nyní pod substitucí náhradu jedněch integračních proměnných, např. x  a  y,  proměnnými jinými, např.  u  a  v:

 , .

Předpokládáme přitom, že

·        funkce    a    zobrazují vzájemně jednoznačně nějakou měřitelnou množinu    na jinou měřitelnou množinu  ,
·        funkce    a    mají na množině  A  spojité první derivace,
·        tzv. Jacobiho determinant substituce

       je na množině  A  nenulový [1].

Věta (o substituci)

Jsou-li splněny podmínky předcházející poznámky a funkce    je integrovatelná na  množině B,  platí [2]

.

Poznámka

Pomocí věty o substituci se často podaří počítaný integrál významně zjednodušit. Převedením do nových proměnných je možno významně zjednodušit jak integrovanou funkci, tak i množinu, na které integraci provádíme. Nezřídka je možno dosáhnout toho, aby nová množina  A  byla dvojrozměrným intervalem. Blíže si to ukážeme na příkladě integrace v polárních souřadnicích.