V matematice, ale zejména v přírodních a technických vědách, existuje nepřeberné množství problémů, kdy je nutné tím či oním způsobem použít výsledků integrálního počtu.
Teorii naleznete v kapitole 6.7 Multimediální encyklopedie nebo v kapitole 3.9 Breviáře
Plocha je rovna rozdílu ploch pod oběma křivkami v intervalu <0,
>. Tyto plochy lze určit vyčíslením určitých integralů v mezích 0 a
. Výsledná plocha je tedy:
Ze známé vlastnosti (aditivity) integrálů víme, že výpočet lze převést na výpočet jediného určitého integrálu z rozdílu obou funkcí:
Lineární hustota
=
tyče délky L je zadána funkcí
=
, kde x je vzdálenost od levého konce tyče. Určete celkovou hmotnost tyče m.
Hmotnost elementu tyče délky dx v místě x je dm=
dx. Celková hmotnost se určí "sečtením" elementů dm - to jest určitou integrací v mezích 0 až L.
Určete momenty setrvačnosti homogenní tyče, jejíž hmotnost je M a délka L, a to vzhledem ke dvěma různým osám otáčení. V prvním případě vzhledem k ose procházející kolmo začátkem tyče a ve druhém případě těžištěm tyče.
Moment setrvačnosti elementu tyče dx je definován jako součin jeho hmotnosti dm a čtverce vzdálenosti od osy otáčení. Sečtením momentů setrvačnosti všech elementů (určitá integrace) dostaneme celkový moment setrvačnosti. V obou případech je lineární hustota konstantní ρ=(M/L).
V prvním případě (osa prochází koncem tyče), je vzdálenost elementu tyče dx od osy otáčení rovna x, provádíme součet momentů přes celou délku tyče, integrujeme tedy od 0 do L:
To je hledaný vztah pro moment setrvačnosti tyče v prvním případě.
Ve druhém případě rotuje tyč kolem těžiště. Jeho poloha je uprostřed tyče, tedy ve vzdálenosti
=L/2. Označíme-li vzdálenost elementu tyče od těžiště y, a navíc si uvědomíme, že v této vzdálenosti se nachází dva takové elementy (jeden nalevo a druhý napravo od těžiště), můžeme součet momentů setrvačnosti jednotlivých elementů zapsat ve formě určitého integrálu v mezích od 0 do L/2.
Určete moment setrvačnosti nehomogenní tyče z příkladu 2, vzhledem k ose procházející těžištěm kolmo k tyči.
Nejdříve musíme určit polohu těžiště
.
Podle definice musí platit, že součin jeho polohy a celkové hmotnosti tyče m, tedy
, musí být roven součtu součinů poloh a hmotností jednotlivých elementů, tedy
. Polohu těžiště můžeme tedy zapsat pomocí určitých integrálů:
Označíme opět vzdálenost elementu tyče od těžiště y. I nyní máme vždy dva elementy tyče dx s touto vzdáleností, avšak každý z nich má jinou hmotnost, protože hustota tyče je nehomogenní. Moment setrvačnosti elementu je
dm=
dx. Celkový moment setrvačnosti tyče obdržíme jako součet těchto těchto momentů setrvačnosti podél celé délky tyče, tj.prostřednictvím určitého integrálu.
a křivkami y=
, y=
.
