5.3 Křivkový integrál druhého druhu

Definujme v n-rozměrném prostoru vektorovou funkci f (sestávající z n-složek), která závisí na n-proměnných (n-souřadnicích) a současně křivku f pomocí n parametrických rovnic - to znamená pomocí n-souřadnic, z nichž každá je funkcí jediného parametru. Za těchto podmínek můžeme definovat křivkový integrál druhého druhu, a to jako jednoduchý integrál podle tohoto parametru ze skalárního součinu definované vektorové funkce f, v níž za souřadnice dosadíme příslušné parametrické funkce, a n-rozměrného vektoru prvních derivací parametrických funkcí podle tohoto parametru. I integrály druhého druhu mají velký význam zejména ve fyzice.


Teorii naleznete v kapitole 11.3 Multimediální encyklopedie nebo v kapitole 5.3 Breviáře

Příklad 1

Pro funkce f(x,y)== a g(x,y)== určete hodnotu křivkového integrálu 2. druhu pro křivku v rovině zadanou parametrickými rovnicemi

x= a y= na intervalu <0, 2>, R je neznámá konstanta.

Řešení

Vyjdeme z definice křivkového integrálu 2.druhu:

∫φf dφ≡=

nebo vektorovým zápisem (šipkami jsme zdůraznili vektory, jejichž součin reprezentuje skalární součin):

∫φ dφ==

Definujeme si funkci f a parametrické funkce pro křivku (jíž je kružnice o poloměru R) včetně intervalu.

Určíme derivaci ϕ' vektoru ϕ=(x,y) (využijeme k tomu funkci d/dx).

a podle definice vypočteme křivkový integrál 2.druhu (čárka nad druhým členem v násobení značí komplexní sdružení - Mathcad vyžaduje, aby totiž při násobení matic či vektorů byl jeden z vektorů komplexně sdružen):

Křivkový integrál z (1,0) má význam "součtu" hodnot x-ové souřadnice tečného vektoru podél křivky, Tyto hodnoty jsou určeny kosinem úhlu mezi tečným vektorem a osou x. Křivkou je kružnice, takže pro každý úhel t z intervalu <0,> existuje vždy úhel z intervalu <, 2> s právě opačnou hodnotou kosinu, proto je hodnota integrálu 0.


Odobně to ale platí i pro intervaly <0,> a <,>, proto při zkrácení oblasti integrace na délku <0,> obdržíme opět nulu.

Pokud zkratíme integrační oblast např. na <0,>, obdržíme:

Pokud zkratíme integrační oblast dále, např. na <0,>, obdržíme:

Stejným způsobem lze spočítat křivkový integrál funkce g.

Tento integrál je ale roven nule pro libovolný interval integrace <α,β>, protože skalární součin uvnitř tohoto integrálu je roven nule.

Příklad 2

Spočítejte numericky křivkový integrál ∫ψ dψ,

kde křivka je určena parametrickým zadáním

ψ= pro t z intervalu <0,20>.

Řešení

Opět postupujeme stejně, tj. jako u příkladu 1, jen si musíme uvědomit, že se jedná o křivku ve třech dimenzích (neboli rozměrech).

(Zde jsme byli donuceni místo obyčejného výpočtu s pomocí (=) přistoupit k symbolickému vyhodnocení a následnému vyčíslení v preciznosti float z důvodu nekonvergence numerické metody použité při řešení tohoto určitého integrálu.)


Ve fyzice lze integrál 2. druhu použít např. k výpočtu práce podél zadané křivky, tzv. trajektorie - v tom případě by funkce f, resp. f3D, představovala vektor síly (silové pole). Význam skalárního součinu vektoru síly s vektorovým elementem křivky (dráhy) má význam průmětu síly do směru aktuální tečny. Práci totiž koná jen složka síly tečná k dráze (pozor zadání křivky v naší úloze je ovšem nefyzikální, ve fyzice parametr t odpovídá času a fyzikální trajektorie musí vyhovovat tzv. pohybovým rovnicím).