5.1 Křivky

Spojitá křivka v n-rozměrném prostoru je zadána n-ticí spojitých reálných funkcí, které zavisí na jedné reálné proměnné a jsou definovány na vybraném intervalu a jejichž hodnoty reprezentují souřadnice bodu ležícího na geometrickém obrazu této křivky. Jde tedy vlastně o spojitou vektorovou funkci jedné reálné proměnné označované jako parametr. Z tohoto důvodu hovoříme též o parametrickém zadání křivky. Konkrétní geometrický obraz křivky v prostoru může být určen odlišnými parametrickými zadáními, případně popsán v analytické formě pouze jako vztahy mezi jednotlivými souřadnicemi.

Teorii naleznete v kapitole 11.1 Multimediální encyklopedie nebo v kapitole 5.1 Breviáře

Příklad 1

Parametrizujte a vykreslete křivku (tj. její geometrický obraz) ve dvou dimenzích, která je popsána rovnicí =4.

Řešení

Křivku můžeme parametrizovat v závislosti na parametru t následujícím způsobem:

Analytickou rovnici vydělíme 4, máme =1, vzhledem k platnosti identity =1 tak můžeme předpokládat parametrické rovnice:

Takto definované funkce zatím ovšem závisí na dalších parametrech a, b a ω. Vzhledem k platnosti rovnic výše ale první dva nejsou nezávislé a musí platit:

Můžeme tedy použít libovolnou kombinaci výše uvedených hodnot parametrů a a b, přičemž ω může mít hodnotu zcela libovolnou.

Protože funkce cos a sin jsou periodické s periodou 2p, bude křivka uzavřená, neboť

a k jejímu plnému vykreslení postačí libovolný interval délky .

Zvolme tedy nejjednodušší a "nejpřirozenější" volbu parametrů a intervalu <c,d>:

Parametrickou rovnici s těmito konkrétními hodnotami parametrů můžeme použít k vykreslení funkce.

Vidíme, že se jedná o elipsu.

Tuto křivku můžeme popsat i jinými parametrickými rovnicemi, např.:

Vidíme, že se jedná o stejnou elipsu, přestože parametrické vyjádření je jiné.

Můžeme se pokusit vykreslit elipsu i s použitím analytické rovnice (Mathcad umožňuje vykreslit graf funkce - naši křivku ale musíme rozdělit na dvě funkce y(x)):

Máme dvě řešení reprezentující dvě funkce. Ty odpovídají částem geometrického obrazu křivky pod resp. nad osou x.

(Velké X použito z důvodu nemožnosti dealokace proměnné x - Mathcad zde z neznámého důvodu považuje proměnnou x za vektor, ačkoliv byla tato proměnná resetována)