4.4 Substituce ve trojných integrálech

U jednorozměrných a stejně tak i u vícerozměrných integrálů rozumíme pod substitucí náhradu původních integračních proměnných jinými. Takové substituce tak také zjednodušují či vůbec umožní výpočet mnoha trojných integrálů. Ve fyzice se s takovými substitucemi setkáváme nejčastěji ve formě transformačních vztahů, které popisují přechod k jinému systému souřadnic v trojrozměrném prostoru.


Teorii naleznete v kapitole 7.6 Multimediální encyklopedie nebo v kapitole 4.4 Breviáře

Příklad 1

Pomocí přechodu do válcových (cylindrických) souřadnic

x=, y=, z=

vypočítejte trojný integrál

∫∫∫M dxdydz, kde integrační oblast M je vymezena podmínkami ∧ .

Řešení

V trojném integrálu je třeba provést substituci proměnných ve funkci společně s transformací součinu diferenciálů pronásobením tzv. Jacobiho determinantem (jeho absolutní hodnotou) a také odpovídající úpravu mezí integrace.


Transformace souřadnic

Nejdříve spočteme Jacobiho matici.

Jacobiho determinant umožňující přechod k integraci podle nových souřadnic můžeme určit jako:

(Zde jsme využili pro výpočet determinantu matice funkci || a pro zjednodušení obdrženého výrazu funkci Simplify.)


Jacobiho matice se dá získat z transformačních vztahů také přímo pomocí vestavěné funkce (nicméně je třeba zadat transformační vztahy ve formě, obsahující vektor proměnných, podle kterých se derivuje - vektor má podobu u=(u0,u1,u2), kde u0=r , u1=φ a u2=z.)

Přechod k integraci podle nových proměnných je tedy dán vztahem:

dxdydz=|JacobihoDeterminant|∙drdφdz=r drdφdz, po této substituci a substituci za x a y ve funkci a odpovídající transformaci mezí máme:

∫∫∫M dxdydz=, kde

r1=1, r2=2 (neboť x2+y2=r2), φ1=0, φ2=, z1=0, z2=1 (podmínky vymezují část válce ve tvaru prstence).


Nyní tedy konečně spočteme příslušný integrál:

Příklad 2

Pomocí substituce do kulových (sférických) souřadnic

x=, y=, z=

vypočítejte trojný integrál

∫∫∫M dxdydz, kde integrační oblast M je vymezena podmínkou .

Řešení

V trojném integrálu je třeba provést (jako v předchozím příkladu) substituci proměnných ve funkci společně s transformací součinu diferenciálů pronásobením Jacobiho determinantem (jeho absolutní hodnotou) a také odpovídající úpravu mezí integrace.


Transformace souřadnic

Opět spočteme Jacobiho matici.

Jacobiho determinant umožňující přechod k integraci podle nových souřadnic můžeme určit jako:

Přechod k integraci podle nových proměnných je tedy dán vztahem:

dxdydz=|JacobihoDeterminant|∙drdφdθ=r2sin(θ) drdφdθ, po této substituci a substituci za x a y a z ve funkci a odpovídající transformaci mezí máme:

∫∫∫M dxdydz=, kde

r1=1, r2=2 (neboť x2+y2+z2=r2), φ1=0, φ2=, θ1=0, θ2= (podmínky vymezují část koule ve tvaru tzv. mezikulí).


Nyní tedy konečně můžeme spočítat příslušný integrál: