7.6  Substituce v trojných integrálech

Podobně jako v případě dvojných integrálů předpokládáme, že přechod od integračních proměnných  x, y a z  k novým proměnným  u, v a w

 ,  ,

splňuje následující podmínky:

·        funkce  ,  a    zobrazují vzájemně jednoznačně nějakou měřitelnou množinu   na jinou měřitelnou množinu ,
·        funkce  ,  a    mají na množině  A  spojité první derivace,
·        Jacobiho determinant substituce

      je na množině  A  nenulový [1].

Věta (o substituci)

Jsou-li splněny podmínky předcházející poznámky a funkce    je integrovatelná na  B, platí [2]

            .

Pomocí věty o substituci se často podaří převést integraci na obecné měřitelné množině na jednodušší integraci na trojrozměrném intervalu. Níže si ukážeme konkrétní použití této věty při přechodu od kartézských k válcovým  a kulovým souřadnicím.