3.1 Primitivní funkce, neurčitý integrál

Teorii naleznete v kapitole 6.1 Multimediální encyklopedie nebo v kapitole 3.1 Breviáře

Příklad 1

Pro x∈(-1,1) ověřte podle definice primitivní funkce platnost rovnosti =.

Řešení

Podle definice neurčitého integrálu (primitivní funkce) platí:

=f(x)dx.


Vyjádřeno slovně, zderivujeme-li primitivní funkci

(někdy značíme primitivní funkci také F(x)), obdržíme funkci f(x).

Ve skutečnosti je tedy tento příklad cvičením na derivování.

Příklad 2

Pro x≠(2k+1) ověřte pomocí definice primitivní funkce platnost rovnosti =.

Podle definice primitivní funkce, zderivuji-li funkci , musím obdržet funkci tg(x), ke které byla původní funkce primitivní.

Konstantu C není potřeba psát, neboť derivace konstanty je vždy nulová.

Řešení

Příklad 3

Vypočítejte následující neurčitý integrál:

.

Řešení

Jedná se o výpočet primitivní funkce k funkci . Výpočet primitivní funkce se také nazývá integrace. Chceme-li umět integrovat funkce, musíme znát celou řadu vzorců integrálů elementárních funkcí, dále větu o linearitě integrálu, větu "per partes", věty o substituci a i tak integrování složitějších funkcí vyžaduje jistou zkušenost a znalost určitých "triků" v algebraických úpravách funkcí tak, abychom je převedli do tvaru, který lze snadno integrovat.


V Mathcadu se integrace provádí následovně:

Ověřit správnost výsledku můžeme snadno, zderivujeme-li výslednou funkci, měli bychom opět obdržet funkci původní, ke které jsme primitivní funkci hledali.

Příklad 4

Vypočítejte následující neurčitý integrál:

.

Řešení