6.1 Primitivní funkce, neurčitý integrál

Definice

Nechť  f  je reálná funkce jedné reálné proměnné. Funkci  F  nazveme primitivní funkcí  k funkci  f  na intervalu  ,  jestliže pro každé   platí

.

Pro primitivní funkci používáme též název neurčitý integrál a označení

.

Samotnou funkci  f  nazýváme integrandem příslušného neurčitého integrálu.

Věta

Primitivní funkce  F  je funkcí  f  určena až na aditivní konstantu jednoznačně. Platí tedy:

·        je-li na nějakém intervalu    funkce  F  primitivní k funkci  f,  je funkce   ,  kde  C  je reálná konstanta, na stejném intervalu rovněž primitivní funkcí k  f;

·        jsou-li naopak  F  a  G  dvě primitivní funkce k zadané funkci  f  na intervalu  ,  platí pro každé  x  z tohoto intervalu  ,  kde  C  je opět nějaká reálná konstanta.

Věta

Primitivní funkce je vždy funkcí spojitou.[1]

Věta (linearita integrálu)

Existují-li na intervalu    integrály na pravých stranách uvedených rovností, platí na tomto intervalu

,

,

.

Poznámka

Uvedené rovnosti plynou okamžitě z pravidel o derivování součtu, rozdílu a násobku funkce (viz zde).

Pravidlo o integrování součtu (i rozdílu) je možno rozšířit prostřednictvím principu matematické indukce na libovolný konečný počet sčítanců v integrandu levé strany:

.

Poznámka

Na základě zkušeností s derivacemi elementárních funkcí můžeme přímo z definice určit některé speciální primitivní funkce. Výsledky spolu s odpovídajícími vzorci pro derivování shrnuje následující tabulka.