2.3 Derivace ve směru

Teorii naleznete v kapitole 5.6 Multimediální encyklopedie nebo v kapitole 2.3 Breviáře.

Příklad 1

Určete gradient funkce f(x,y)= v zadaném bodě a=(a_x,a_y)≠. Řešte nejdříve obecně a pak dosaďte a=(2,3).

Řešení

Gradient funkce f(x,y) v bodě a=(a_x,a_y) je definován jako vektor, jehož složky jsou dány odpovídajícími parciálními derivacemi zadané funkce v zadaném bodě. Gradient v daném bodě definičního oboru funkce je vektor, který má směr největšího růstu funkce a jeho velikost je rovna derivaci funkce ve směru gradientu, tedy ve směru největšího růstu funkce.

≡

Nyní vypočteme gradient funkce v bodě a=(a_x,a_y):

Gradient v bodě (2,3):

Příklad 2

Určete derivaci funkce f(x,y)= v bodě a=(1,1) ve směru zadaném vektorem n=. Výpočet proveďte nejdříve podle definice, pak podle věty:

≡≡grad f(a)∙n

Řešení

Dříve, než zahájíme výpočet zadané derivace, musíme vždy ověřit, že vektor definující směr má jednotkovou délku:

Což lze provést takhle:

Nebo takhle:

Vektor n je tedy jednotkový. Kdyby nebyl, museli bychom při výpočtu použít vektoru nového =.

a) Výpočet podle definice

(Tento postup je většinou zejména kvůli obtížným výpočtům limit velmi komplikovaný a proto pro běžné výpočty nevhodný. My ale můžeme využít k výpočtům limit program Mathcad.)

b) Výpočet podle věty:

≡≡grad f(a)∙n

Derivaci funkce f(x,y) v bodě a ve směru jednotkového vektoru n můžeme tedy počítat jako skalární součin gradientu funkce f v bodě a a vektoru n.

Nejdříve vypočteme gradient:

Poté na závěr vypočítáme skalární součin gradientu s jednotkovým směrovým vektorem n.

(Upozornění: U Mathcadu je nutno při násobení vektorů a matic používat syntaxi a*, kde znamená komplexně sdružený vektor nebo matici.)

Příklad 3

Určete derivaci funkce f(x,y,z)= ve směru vektoru

n= v bodě a=. Ověřte, že vektor definující směr je jednotkový, popř. k jednotkovému vektoru přejděte.

Řešení

Nejdříve ověříme, zda je vektor n jednotkový:

Výsledek však musíme ještě zbavit absolutních hodnot (což můžeme z důvodu umocnění členů na druhou), abychom mohli výraz zjednodušit pomocí vzorců pro počítání s goniometrickými funkcemi: