2.2 Složené funkce

2.2 Složené funkce

Teorii naleznete v kapitole 5.5 Multimediální encyklopedie nebo v kapitole 2.2 Breviáře.

Příklad 1

Určete derivaci složené funkce h(t)=, kde

Řešení

V tomto konkrétním případě je funkce h(t)= sice složená tak, že vnější funkce f(x,y) je funkcí dvou proměnných, ovšem obě vnitřní funkce g₁ i g₂ jsou funkcemi jedné stejné proměnné t, tzn. i složená funkce h(t) je funkcí jedné proměnné t.

Postupujeme podle věty o derivování složené funkce:

Mathcad provede výpočet přesně podle této věty za nás:

Tento výpočet můžeme rovněž provézt tak, že za x a y přímo dosadíme funkce g₁(t) a g₂(t). Při tomto postupu je jasněji vidět, že funkce h(t) je vlastně funkcí jedné proměnné t.

Samozřejmě, lze vypočítat derivaci této složené funkce v libovolném konkrétním bodě, např. v bodě t=4.

Příklad 2

Určete parciální derivace složené funkce

h(x,y,z)=f(g(x,y,z)), kde f(u)= a g(x,y,z)=.

Řešení

V tomto případě je složená funkce h(x,y,z) funkcí tří proměnných, x, y a z. Budou tedy existovat tři první parciální derivace.

Pro výpočet takové složené funkce platí pravidlo

Mathcad provede výpočet podle této věty automaticky.

Příklad 3

Určete parciální derivace složené funkce

h(u,v)=, kde f(x,y)=,

g₁(u,v)=, g₂(u,v)=.

Řešení

V tomto případě je složená funkce h(x,y) funkcí dvou proměnných, x a y. Budou tedy existovat dvě první parciální derivace.

Postupujeme podle věty o derivování složené funkce:

V Mathcadu se parciální derivace počítají takto:

Příklad 4

Vypočítejte naznačenou parciální derivaci:

Řešení