5.5 Derivování složených funkcí (více reálných proměnných)

I funkce více proměnných můžeme různými způsoby skládat. Níže si ukážeme, jak několik základních typů složených funkcí více reálných proměnných derivovat [1]. Uvedené vzorce porovnejte s větou o derivaci složené funkce jedné reálné proměnné.

Věta

Nechť f(x1,...,xn) je reálná funkce  n  reálných proměnných a dále nechť gi(t) jsou reálné funkce jedné reálné proměnné, j = 1,...,n. Pak pro funkci h(t) = f(g1(t),...,gn(t)) platí

.

Věta

Nechť f(y) je reálná funkce jedné reálné proměnné a g(x1,...,xn) je reálná funkce  n  reálných proměnných. Pak pro funkci h(x1,...,xn) = f(g(x1,...,xn)) a pro každé j = 1,...,n platí

.

Věta

Nechť f(y1,...,yn) je reálná funkce  n  reálných proměnných a gj(x1,...,xm), j = 1,...,n,  jsou reálné funkce  m  reálných proměnných.  Pak pro funkci h(x1,...,xm) = f(g1(x1,...,xm),...,gn(x1,...,xm)) a pro každé k = 1,...,m platí

.

Poznámka

Vzorce uvedené v předcházejících třech větách je možno psát i ve stručnější a přehlednější formě

,

,

.

Obecný návod, který pro derivování složených funkcí více reálných proměnných uvedené věty poskytují, je možno formulovat následujícím způsobem:

·        nejdříve derivuj vnější funkci podle každé proměnné, která závisí na proměnné vnitřní funkce, podle níž derivaci složené funkce počítáme,
·        pak tuto derivaci vynásob odpovídající derivací vnitřní funkce,
·        nakonec všechny takto získané součiny sečti.

[1] V níže uvedených větách předpokládáme, že všechny derivace existují.