Pomocí věty o prvním diferenciálu ukažte, že platí přibližná rovnost
≈
, kde α je reálné číslo a x je malé reálné číslo.
Při výpočtu hodnot funkcí popsaných složitějšími výrazy bývá vhodné je aproximovat přibližným vztahem (hodnota pomocí něj spočtená se v určitém intervalu odchyluje od skutečné hodnoty původní funkce jen o přesně daný malý rozdíl). V případě, že se spokojíme s přibližným vztahem ve tvaru lineární závislosti, postačí vyjít z definice prvního diferenciálu. Pokud potřebujeme přesnější hodnotu či širší iterval použitelnosti, je možno nahradit funkci mnohočlenem, tzv. Taylorovým polynomem vhodného řádu. Takové náhrada funkce umožňuje vyřešit některé matematické problémy, jako je např. výpočet limit neurčitých výrazů.
Teorii naleznete v kapitole 4.7 a 4.8 Multimediální encyklopedie nebo v kapitole 1.5 Breviáře
Pomocí věty o prvním diferenciálu ukažte, že platí přibližná rovnost
≈, kde α je reálné číslo a x je malé reálné číslo.
Podle věty o prvním diferenciálu platí f(x)≈f(a)+f '(a)(x-a), kde nyní je f(x)=
a a=0.
Definujme funkci (viz obecná definice funkce):
Ve stejném bodě vypočteme i hodnotu první derivace
(pro názornost si můžeme si nejdříve spočítat pomocí funkce d/dx, v níž musíme zadat, zda derivujeme podle x nebo α - pozor tyto proměnné nesmí mít definované hodnoty, pokud mají, lze je smazat pomocí x:=x či α:=α):
Po dosazení do obecného vzorce získáme
f(x)≈f(a)+f '(a)(x-a)=f(0)+f '(0)(x-0)=1+αx.
(Tento přibližný vzorec můžeme definovat jako novou funkci a přesvědčit se pro vybranou hodnotu argumentu funkce b a konkrétní hodnotu parametru α o jeho přesnosti)
Vyjádřeme pro zadanou funkci tuto řadu v bodě a=0 do n=10.
(můžeme použít funkci Series (Symbolic Keyword Toolbar), v níž dodatečný parametr 11 určuje, že se vypíše prvních jedenáct členů taylorova polynomu (k=0 až k=10), tato funkce automaticky sestavuje řadu v okolí bodu 0).
Uvedenou limitu nelze vypočítat přímým použitím algebraických vět, získali bychom totiž neurčitý výraz
=
=
.
Jednou z možností, jak si s ní poradit, je rozvést funkce sinus a kosinus na okolí bodu, v němž limitu počítáme (a=0) pomocí Taylorovy věty a přejít tak, až na zanedbatelné odchylky, k limitě podílu dvou polynomů.
Zapišme tedy limitu pomocí podílu (čitatel/jmenovatel) Taylorových rozvojů funkcí sinus a cosinus do prvního řádu (2 proto, že Mathcad bere 0. řád jako 1. člen posloupnosti - tedy chceme 2 členy posloupnosti) v bodě 0.
Taylorovy rozvoje obou funkcí (spočtené výrazy pro obě řady uložíme do proměnných):
Oba výrazy se v limitě blíží k nule pro x jdoucí k 0, máme opět výraz 0/0, zkusíme tedy obvyklý postup (zde rozšíření zlomku 1/x).
Ani takto rozšířený výraz nemá definovanou hodnotu, stále máme podíl 0/0.
Teprve při použití rozvoje do 2. řádu budeme s výše uvedeným postupem úspěšní:
Zde můžeme vidět, že Mathcad vypsal pro sin(x) jeden člen posloupnosti, který jsme nečekali, důvodem je to, že Mathcad vrací v případě nulové hodnoty členu taylorovy řady určitého řádu, člen následující za tímto členem.
Odsud vyplývá, že taylorovův rozvoj v 2. řádu pro funkci sinus je stejný jako taylorův rozvoj 1. řádu.
Oba prvky zlomku se v limitě pro x jdoucí k 0 rovnají 0, tudíž nám opět vychází výraz 0/0. Zkusíme tedy obvyklý postup (zde rozšíření zlomku 1/x2).
