4.6.2 Konvexnost a konkávnost

Definice

Nechť je funkce  f  definována na intervalu . Řekneme, že funkce f  je na tomto intervalu

·        konvexní                 ,

·        ryze konvexní         ,

·        konkávní                  ,

·        ryze konkávní         .

Poznámka

Geometricky znamená konvexnost funkce  f  na intervalu , že pro libovolnou volbu  , ,  leží úsečka  s koncovými body   a    na intervalu    nad grafem funkce  f .  Konkávnost naopak znamená, že tatáž úsečka leží pod grafem funkce  f.

S menšími nároky na přesnost můžeme též říci, že konvexní funkce zatáčí na zadaném intervalu proti směru hodinových ručiček, konkávní pak ve směru hodinových ručiček.

Věta

Nechť je funkce  f   spojitá na intervalu    a má na   druhou derivaci. Pak platí

·           na     je  f  na    ryze konvexní,

·           na     je  f  na    ryze konkávní,

·        f  je na    konvexní     na  ,

·        f  je na    konkávní     na  .

Poznámka

Nalezení intervalů konvexnosti (konkávnosti) funkce f v praxi znamená nutnost řešit nerovnice  ().