4.11.3 Derivace komplexní funkce

Poznámka

První derivace komplexní funkce jedné reálné proměnné (oboustranné i jednostranné, ale jen vlastní!) definujeme bezezbytku stejně jako v případě funkcí reálných [1]. Pouze tam, kde se vyskytnou komplexní čísla a komplexní funkční hodnoty, musíme použít naznačených operací (sčítání, odečítání, násobení či dělení) tak, jak jsou definovány na množině všech komplexních čísel.

Věta

Komplexní funkce     má v bodě  a  první derivaci, právě když má v tomto bodě první derivaci její reálná i imaginární část. Navíc platí

.

Poznámka

Derivace komplexní funkce jedné reálné proměnné je tedy jednoznačně dána derivacemi její reálné a imaginární části. V konkrétních výpočtech můžeme proto bezezbytku využít všech poznatků, které jsme získali pro reálné funkce jedné reálné proměnné (viz např. zde).

Poznámka

Obdobně jako v případě reálných funkcí (viz zde) můžeme i pro funkce komplexní zavést pojem vyšších derivací. Jistě nepřekvapí, že platí

.

[1] Pokuste se sestavit všechny nezbytné definice sami. Odpovídající formulace pro reálné funkce naleznete zde.