4.10.4 Derivace vektorové funkce

Definice (první derivace vektorové funkce)

Nechť je vektorová funkce  f  definována na okolí bodu  .  Pod první derivací funkce  f  v bodě    rozumíme vlastní limitu

.

Poznámka

Pro derivaci vektorové funkce  f  v bodě    budeme též používat označení .

Věta

Vektorová funkce  f  má v bodě    první derivaci, právě když mají v tomto bodě první derivaci všechny její složky. Navíc platí

.

Poznámka

Vektorové funkce můžeme tedy derivovat po složkách. V konkrétních výpočtech můžeme proto využít všech poznatků, které jsme získali pro reálné funkce jedné reálné proměnné (viz zde).

Věta (algebra derivací pro vektorové funkce)

Nechť  f  a  g  jsou vektorové funkce definované na nějakém okolí bodu  .  Mají-li smysl pravé strany, platí následující rovnosti [1]

,

.

Jsou-li navíc f a g trojrozměrné vektorové funkce, f = [f₁,f₂,f₃] a g = [g₁,g₂,g₃], můžeme dále psát [2]

.

Poznámka (vyšší derivace vektorové funkce)

Obdobně jako v případě reálných funkcí (viz zde) můžeme i pro funkce vektorové zavést pojem vyšších derivací. Ty opět můžeme počítat po složkách.