Pomocí Gaussovy-Ostrogradského věty určete ∯F∙dσ pro pole
Přímý výpočet zadaného plošného integrálu by byl mnohem obtížnější, protože se jedná o plochu, která je jen po částech hladká. Museli bychom tedy počítat zadaný plošný integrál pro každou stěnu kvádru zvlášť a dílčí výsledky nakonec sečíst. Souhrnný výsledek by byl samozřejmě stejný jako ten, který uvádíme výše, jen by vyžadoval více práce.
Pomocí Stokesovy věty určete ∮F∙dl pro pole
F=A x f po obvodu obdélníka σ=<-2,2>x<3,4> ležícího v rovině z=0 a obíhaného proti směru chodu hodinových ručiček (f=[
] a A je zadaný konstantní vektor).
Zadaný křivkový integrál počítáme podle Stokesovy věty jako
∫∫σrot
∙dσ, kde σ=[u,v,0], u∈<-2,2> a v∈<3,4>.
Nejdříve musíme určit pole normálových vektorů k zadané ploše tak, aby splňovalo podmínky Stokesovy věty: tj. abychom při "pochodu" ve směru obíhání křivky s orientací těla ve směru normálového vektoru měli v každém bodě křivky geometrický obraz plochy stále po levé ruce. Víme, že pole normálových vektorů používaných při výpočtu plošných integrálů 2. druhu (viz kapitola 5.7) je dáno vektorovými součiny sloupců Jacobiho matice parametrického zadání plochy.
I v tomto případě by byl přímý výpočet integrálu na levé straně Stokesovy rovnosti (křivkového integrálu druhého druhu) technicky mnohem náročnější, protože obvod obdélníka je po částech hladká křivka a integrál bychom museli počítat pro každou stranu zvlášť a na závěr dílčí výsledky sečíst.
Pomocí Greenovy věty určete ∮F∙dl po obvodu obdélníka O=<-2,2>x<3,4> obíhaného proti směru chodu hodinových ručiček, kde dvojrozměrné pole F je dáno projekcí A x f, f=[
] a A je zadaný konstantní vektor, do souřadnicové roviny xy.
Všimněte si, že křivkový integrál, který máme počítat v tomto příkladu, je totožný s integrálem z příkladu předcházejícího. Křivka, po které integrujeme, leží totiž v rovině xy (stejně tak její element dl) a z-tová složka pole F proto při integraci nehraje roli. Při použití Greenovy věty očekáváme proto stejný výsledek, jaký jsme obdrželi v předcházejícím výpočtu pomocí věty Stokesovy.
Určeme nejdříve integrované pole:
