Často potřebujeme získat celkovou představu, jak zadaná funkce závisí na své nezávislé proměnné - vyšetřit její průběh. Konečným cílem takového snažení pak obvykle bývá náčrt grafu zkoumané funkce.
Teorii naleznete v kapitole 4.6 Multimediální encyklopedie nebo v kapitole 1.4 Breviáře
Protože výraz je vždy nenulový, je maximální definiční obor studované funkce totožný s množinou všech reálných čísel.
Funkce je spojitá na množině všech reálných čísel, neboť obě funkce x a 1/(1+x2) jsou spojitými funkcemi a druhá z nich nenabývá navíc v žádném bodě reálné osy nulové hodnoty.
Intervaly monotonie:
Intervaly monotonie hledáme řešením nerovnic f '(x)>0 resp.
f '(x)<0.
Potřebujeme tedy znát první derivaci studované funkce (spočteme použitím funkce d/dx a zjednodušíme ji pomocí funkce Simplify).
Pro rostoucí funkci je derivace kladná a pro klesající záporná, body (tzv. stacionární body, či obecně oblasti), kde dochází ke změně znaménka, odpovídají nulové derivaci. Tyto body určíme řešením příslušné rovnice.
Kladná derivace resp. záporná derivace určí intervaly, kde je funkce monotónně rostoucí resp. klesající:
Lokální extrémy
Na základě právě určených intervalů monotonie vidíme okamžitě, že v bodě x=-1 nabývá studovaná funkce svého lokálního minima a v bodě x=1 lokálního maxima. Výše jsme již ukázali, že jsou to staconární body s nulovou první derivací. O tom, zda je v těchto bodech extrém (minimum či maximum) rozhodne druhá derivace funkce (můžeme derivovat 1. derivaci opět pomoci funkce d/dx nebo zadat výpočet druhé derivace původní funkce f(x) pomocí funkce dh/dxh.
.
