1.1 Spojitost a limity

Příklad 1

Řešení

Nejdříve definujeme funkci f(x) a sestrojíme tabulku hodnot např. pro 0.97 ≤ x ≤ 1,03 (jelikož očekáváme bod nespojitosti a chybu při výpočtu s ním spojenou - zde dělení nulou - musíme použít funkci "on error" z Programming Toolbaru, samotnou funkci jsme zadefinovali pomocí třetí odmocniny a čtvrté mocniny, neboť počítání zlomkových mocnin vede v Mathcadu mnohdy ke komplexním řešením, které v tomto příkladu neočekáváme)

Vidíme, že v bodě x=1 není zadaná funkce definována a je tedy v tomto bodě nespojitá. Zkusme se podívat na menší okolí zkoumaného bodu.

Z těchto tabulek ještě stále není úplně jasné, jak se chová funkce f(x) v nejtěsnějším okolí bodu x=1, ačkoli z přibližné symetrie okolo x=1 můžeme odhadnout, že limita je 0. To je potvrzeno grafem vyšetřované funkce.

Povšimněte si ovšem, že aby f(x) byla "skoro" nula, x musí být jedničce velice blízko. Hodnotu limity v tomto bodě můžeme ověřit vestavěným příkazem pro počítání limit.

Příklad 2

Řešení

Definujme nejprve zadanou funkci.

Limitu zleva spočítáme opět vestavěným příkazem, tentokrát však pro limitu zleva (Left-Handed Limit).

Podobně vypočteme i limitu zprava (Right-Handed Limit).

Rozdílné výsledky limit zleva a zprava objasňuje graf vyšetřované funkce.

Příklad 3

Řešení

Pro funkci f(x) dostáváme (povšimněte si, že je záporná pro x<1 a kladná pro x>1):

(Pozn: místo x jsme použili jsme použili proměnnou xx z důvodu občasných komplikací při používání předem definované proměnné jako rozsah hodnot)

Výsledkem jsou tzv. nevlastní limity. Oboustranná limita v bodě x=1 tedy neexistuje a přímka jí procházející, tedy x=1, se nazývá vertikální asymptotou. Celou situaci nejlépe ilustruje graf.

Oproti tomu si povšimněte, že funkce g(x) je kladná pro x<1 i x>1. Obě jednostranné limity proto mají hodnotu ∞ (přímka x=1 je i v tomto případě vertikální asymptotou).

Limity v ±∞ určují tzv. horizontální asymptoty. V případě funkce h(x) je horizontální asymptotou přímka y=0, což je dobře vidět z grafu:

Je také zřejmé, že limita existuje jen v +∞.

Příklad 4

Řešení

Zadané limity jsou typickými limitami, významnými pro diferenciální počet. Mathcad umí počítat se symboly (v tom je jeho hlavní síla).

Povšimněme si ale, že výše uvedená limita je hodnota funkce f(x) v bodě x=4 definované jako:

Ve výše uvedených vztazích jistě rozpoznáváte definici derivace. Podobně spočteme i druhou limtu (vzpomeňte si na nekonečné řady):

I zde si můžeme povšimnout, že výše uvedená limita je hodnota funkce g(x) v bodě x=1 definované jako:

Tuto funkci jistě velice dobře znáte.