6.7 Vyjádření diferenciálních operátorů v křivočarých souřadnicích

Teorii naleznete v kapitole 8.8 Multimediální encyklopedie nebo v kapitole 6.7 Breviáře

Příklad 1

Nalezněte vyjádření gradientu ve sférických souřadnicích.

Řešení

Přechod ze sférických (r,θ,φ) do kartézských (x,y,z) souřadnic je dán vztahy
x=r sin θ cos φ,
y=r sin θ sin φ,
z=r cos θ,
které můžeme chápat jako funkci "6_7_1.gif". Vyjádření gradientu v obecných křivočarých souřadnicích je ve tvaru "6_7_2.gif", kde "6_7_3.gif" jsou křivočaré souřadnice a "6_7_4.gif" jsou tzv. Lamého koeficienty (jsou obecně funkcemi souřadnic "6_7_5.gif","6_7_6.gif","6_7_7.gif"). Pro Lamého koeficienty platí "6_7_8.gif". Definujeme funkci t(r,θ,φ), vypočteme Lamého koeficienty a nakonec obecné vyjádření gradientu:

"6_7_9.gif"

"6_7_10.gif"

"6_7_11.gif"

Mathematica však umožňuje výpočet gradientu ve sférických souřadnicích přímo:

"6_7_12.gif"

"6_7_13.gif"

Oběma postupy pochopitelně získáme stejné výsledky.

Příklad 2

Nalezněte vyjádření divergence ve sférických souřadnicích.

Řešení

Přechod ze sférických (r,θ,φ) do kartézských (x,y,z) souřadnic je dán vztahy
x=r sin θ cos φ,
y=r sin θ sin φ,
z=r cos θ,
které můžeme chápat jako funkci "6_7_14.gif". Vyjádření divergence v obecných křivočarých souřadnicích je ve tvaru "6_7_15.gif", kde "6_7_16.gif" jsou křivočaré souřadnice a "6_7_17.gif" jsou tzv. Lamého koeficienty (jsou obecně funkcemi souřadnic "6_7_18.gif","6_7_19.gif","6_7_20.gif"). Pro Lamého koeficienty platí "6_7_21.gif". Definujeme funkci t(r,θ,φ), vypočteme Lamého koeficienty a nakonec obecné vyjádření divergence:

"6_7_22.gif"

"6_7_23.gif"

"6_7_24.gif"

Popřípadě výpočet provedeme vestavěnou funkcí:

"6_7_25.gif"

"6_7_26.gif"

Opět jsme obdrželi stejné výsledky, které lze psát také ve tvaru "6_7_27.gif".

Příklad 3

Nalezněte vyjádření rotace v cylindrických (válcových) souřadnicích.

Řešení

Přechod z cylindrických (ρ,φ,z) do kartézských (x,y,z) souřadnic je dán vztahy
x=ρ cos φ,
y=ρ sin φ,
z=z,
které můžeme chápat jako funkci "6_7_28.gif". Vyjádření rotace v obecných křivočarých souřadnicích je ve tvaru "6_7_29.gif", kde "6_7_30.gif" jsou jednotkové vektory lokální křivočaré ortogonální baze, "6_7_31.gif" jsou křivočaré souřadnice a "6_7_32.gif" jsou tzv. Lamého koeficienty (jsou obecně funkcemi souřadnic "6_7_33.gif","6_7_34.gif","6_7_35.gif"). Pro Lamého koeficienty platí "6_7_36.gif". Definujeme funkci t(ρ,φ,z), vypočteme Lamého koeficienty a nakonec obecné vyjádření rotace:

"6_7_37.gif"

"6_7_38.gif"

"6_7_39.gif"

Nebo přímo:

"6_7_40.gif"

"6_7_41.gif"

Výsledek bývá zapisován ve tvaru "6_7_42.gif".

Příklad 4

Nalezněte vyjádření Laplaceova operátoru působícího na skalární pole ve sférických souřadnicích.

Řešení

Přechod ze sférických (r,θ,φ) do kartézských (x,y,z) souřadnic je dán vztahy
x=r sin θ cos φ,
y=r sin θ sin φ,
z=r cos θ,
které můžeme chápat jako funkci "6_7_43.gif". Vyjádření Laplaciánu v obecných křivočarých souřadnicích je ve tvaru "6_7_44.gif", kde "6_7_45.gif" jsou křivočaré souřadnice a "6_7_46.gif" jsou tzv. Lamého koeficienty (jsou obecně funkcemi souřadnic "6_7_47.gif","6_7_48.gif","6_7_49.gif"). Pro Lamého koeficienty platí "6_7_50.gif". Definujeme funkci t(r,θ,φ), vypočteme Lamého koeficienty a nakonec vyjádření Laplaciánu:

"6_7_51.gif"

"6_7_52.gif"

"6_7_53.gif"

Či přímo:

"6_7_54.gif"

"6_7_55.gif"

Neboli "6_7_56.gif".

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0