Nejdříve definujeme funkci f(x) a budeme se snažit nalézt podezřelé body, tj. body, v nichž má funkce nulovou první derivaci (nebo první derivaci nemá či dokonce není ani spojitá).
Jediným podezřelým bodem je x=
. Žádné další podezřelé body neexistují, protože funkce je spojitá a diferencovatelná na celém svém definičním oboru. Nyní provedeme test s druhou derivací.
Tedy, zadaná funkce má dvě lokální minima. Naproti tomu test druhých derivací nám nic neříká o bodu x=
. S využitím grafu funkce
Podezřelé body jsou x=0,±2, v nich derivace neexistují. Z grafu vidíme, že funkce má minimum v x=0. Někdy je výhodné hledat lokální extrém numericky, pomocí příkazu Minimize nebo Maximize (je potřeba dodat i odhad extrému).
Nejdříve nalezneme lokální extrémy na intervalu (-0.1,1.3) a poté zjistíme také funkční hodnoty v krajních bodech intervalu.
Test druhých derivací nám prozrazuje, že první podezřelý bod je lokálním maximem a čtvrtý lokálním minimem. V bodě x=0.5 je druhá derivace nulová, tedy o povaze funkce v tomto bodě neumíme rozhodnout. Nyní se podívejme na funkční hodnoty v podezřelých bodech a také v krajních bodech vyšetřovaného intervalu.
V bodě x=1.084768 nabývá tedy studovaná funkce na zadaném intervalu svého globálního minima (toto minimum je současně i jejím minimem lokálním) a v bodě x=1.3 globálního maxima (toto maximum naopak lokálním maximem studované funkce není). Vše na závěr zobrazíme v grafu (v bodě x=0.5 je tzv. sedlový bod).
