1.4.1 Základní pojmy z teorie komplexních čísel
Komplexní čísla.

Definice

Komplexní čísla jsou uspořádané dvojice reálných čísel (označujeme ,  se nazývá reálná část,  se nazývá imaginární část komplexního čísla a), pro něž je definován vztah rovnosti a operace sčítání a násobení takto ( , ):
;
;
.
Poznámka

a)      Dá se ukázat, že uvedené operace splňují komutativní, asociativní a distributivní zákon, stejně jako u reálných čísel.

b)      Množinu všech komplexních čísel značíme .

c)      Reálná část komplexního čísla  se často značí , imaginární část .
d)      Komplexní číslo  nazýváme (komplexní) nulou a značíme prostě 0, stejně jako u reálných čísel.
Věta

Pro čísla tvaru  přecházejí zavedené operace sčítání a násobení v obyčejné sčítání a násobení prvních složek, přičemž druhé složky jsou stále nulové. Proto komplexní čísla tvaru , tj. ta, která mají imaginární část rovnu nule, můžeme ztotožnit s reálnými čísly. Množina reálných čísel je tudíž podmnožinou množiny komplexních čísel, nebo, řečeno jinak, pojem komplexního čísla je zobecněním pojmu reálného čísla.

Definice

Komplexní čísla tvaru , tj. ta, která mají reálnou část rovnu nule, nazýváme ryze imaginárními. Mezi ryze imaginárními čísly má výsadní postavení číslo , které nazýváme imaginární jednotkou a značíme „ “.

Věta

Pro imaginární jednotku platí: .

Důkaz.

Podle definice násobení reálných čísel dostáváme:

. Cbd.
Poznámka

Z platnosti vztahu  plyne populární, ale nepřesná definice imaginární jednotky  (blíže viz kapitolu „Přirozená mocnina a odmocnina v komplexním oboru“).

Gaussova rovina.
Podobně jako reálná čísla lze geometricky znázornit přímkou, lze komplexní čísla znázornit rovinou, zvanou Gaussova rovina. V Gaussově rovině pak zavádíme reálnou osu (vodorovnou), resp. imaginární osu (svislou), na kterou nanášíme reálnou, resp. imaginární část komplexních čísel. Z této představy je zřejmé, že komplexní čísla nelze seřadit podle velikosti, tzn. není pro ně definována relace „a menší než b“ apod.
Rozdíl a podíl komplexních čísel.
Stejně jako u reálných čísel můžeme zavést rozdíl , resp. podíl    dvou komplexních čísel jako jediné řešení rovnice , resp. . Dostaneme toto explicitní vyjádření:
, .
Absolutní hodnota (modul) komplexního čísla.

Definice
Absolutní hodnotou (také modulem) komplexního čísla  nazýváme nezáporné reálné číslo .

Poznámka
Geometrický význam absolutní hodnoty: udává v Gaussově rovině vzdálenost čísla a od čísla 0 (počátku souřadného systému).
Definice
Čísla a, pro která platí , nazýváme komplexními jednotkami.
Poznámka

a)      Komplexních jednotek je nekonečně mnoho a v Gaussově rovině vytvářejí kružnici o jednotkovém poloměru kolem čísla . Imaginární jednotka je podle definice jediné číslo . Uvedené pojmy nesmíme vzájemně zaměňovat!

b)      Imaginární jednotka patří mezi komplexní jednotky (protože ).
Věta

Pro každá dvě komplexní čísla a, b platí:

, , , , .