1.4.5 Komplexní odmocnina a logaritmus

Komplexní odmocnina.

Definice

Nechť  a . Pak n-tou odmocninou z komplexního čísla z nazýváme každé číslo , pro které platí  a značíme .

Věta

Je-li komplexní číslo vyjádřeno v exponenciálním tvaru , resp. v goniometrickém tvaru , pak -tými odmocninami jsou čísla

, resp. ,

kde .

Důkaz.

S použitím exponenciálního tvaru je důkaz jednoduchý:

. Cbd.

V goniometrickém tvaru lze provést důkaz také snadno pomocí Moivreovy věty.

Poznámka

a)      Vidíme, že odmocnina z komplexního čísla není definována jednoznačně, nabývá n hodnot. Mluvíme o mnohoznačné funkci, zde přesněji n-značné. V oboru komplexních čísel to není žádná výjimka, známe již např. mnohoznačnou funkci .

b)      Komplexní odmocnina se značí stejně jako reálná, proto je nutné všude, kde to není z kontextu patrné, uvést, o jakou odmocninu se jedná. V tomto smyslu je nutné upřesnit vzorce v předchozí větě: odmocnina  je reálná odmocnina z nezáporné veličiny , její hodnota je tedy jediná a nezáporná.

c)      Z geometrické interpretace plyne, že pro  tvoří všechny hodnoty n-té odmocniny vrcholy pravidelného n-úhelníka se středem v počátku souřadného systému a pro  leží symetricky vůči počátku.

Řešená úloha č. 1

Určete v  hodnotu .

Řešení.

K řešení použijeme výpočetní vzorec z poslední věty pro exponenciální tvar: . Postupným dosazením za  a převodem na algebraický tvar obdržíme dvě hodnoty: , .

Poznámka

Uvědomte si jemný, ale pro hlubší pochopení podstatný rozdíl mezi  v reálném a komplexním oboru. V reálném oboru to je podle definice jediná hodnota , v komplexním oboru jsou to dvě hodnoty . Chceme-li tudíž například vyjádřit úplné řešení rovnice , musíme v reálném oboru psát , zatímco v komplexním oboru stačí psát .

Řešená úloha č. 2

Určete v  hodnotu .

Řešení.

K řešení použijeme opět exponenciální tvar, který je nejstručnější. Podle výpočetního vztahu z předchozí věty snadno obdržíme . Dosazením za  a převodem na algebraický tvar dostáváme tři hodnoty:

, , .

Hodnota  je reálná a je totožná s třetí mocninou z 8 v reálném oboru, ostatní dvě jsou komplexní s nenulovou imaginární částí; všechny tři v Gaussově rovině vytvářejí rovnostranný trojúhelník se středem v nule.

Komplexní logaritmus.

Definice

Nechť . Pak logaritmem  komplexního čísla z nazýváme takové číslo , pro které platí  a značíme .

Věta

Je-li komplexní číslo vyjádřeno v goniometrickém tvaru , pak logaritmem jsou všechna čísla .

Důkaz.

Důkaz je snadný: .

Poznámka

Hodnota logaritmu komplexního čísla není definována jednoznačně, jedná se o mnohoznačnou funkci. Zavádíme proto tzv. hlavní větev logaritmické funkce

, kde .

Další větve se definují vztahem .

Poznámka

Komplexní logaritmus se značí stejně jako reálný, proto je nutné všude, kde to není z kontextu patrné, uvést, o jaký logaritmus se jedná. Je zřejmé, že pro reálná čísla ( ) se dá reálný algoritmus ztotožnit s hlavní větví komplexního algoritmu.

Řešená úloha č. 3

Určete v C .

Řešení.

Označíme modul , argument . Řešením je nekonečně mnoho hodnot . Hlavní hodnotu získáme z hlavní větve logaritmu: .