1.4.6 Kvadratická a binomická rovnice v komplexním oboru
Řešení kvadratické rovnice v komplexním oboru.
DefiniceKvadratickou rovnicí v komplexním oboru rozumíme rovnici tvaru
,
kde 
.
Věta
Řešením kvadratické rovnice 
v
jsou čísla
,
kde komplexní číslo 
je
známý diskriminant kvadratické rovnice.
Poznámka
a) Definice kvadratické rovnice je stejná jako v reálném oboru, pouze koeficienty a neznámá jsou nyní komplexní.
b)
Také vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice je
velmi podobný vzorci pro reálný případ. Malý, ale podstatný rozdíl je v tom,
že druhá odmocnina v tomto vzorci je nyní komplexní, tudíž dvojznačná
a proto není nutné psát znaménko 
.
c)
Kvadratická rovnice má tedy v komplexním oboru
vždy řešení, pro 
dva
různé kořeny, pro 
jeden
(dvojnásobný) kořen.
Řešení binomické rovnice v komplexním oboru.
DefiniceBinomickou rovnicí rozumíme rovnici tvaru
,
kde 
, 
.
Věta
Řešením binomické rovnice 
v
je komplexní n-tá odmocnina
.
Důkaz
Důkaz je triviální. Rovnici upravíme na ekvivalentní tvar 
a
aplikujeme definici komplexní odmocniny.
Poznámka
Binomická rovnice v komplexním oboru má tedy 
jednoduchých kořenů, které, jak víme, tvoří v Gaussově
rovině pravidelný -úhelník. Oproti řešení binomických rovnic v reálném
oboru, kdy řešení nemusí být žádné, jedno nebo dvě (podle toho, kolik vrcholů
pravidelného -úhelníka padne na reálnou osu), zde vidíme krásnou
symetrii a přesně daný počet řešení. To je jeden z mnoha případů, kdy
převedení nějakého problému z oboru reálných čísel do čísel komplexních
poskytuje daleko hlubší vhled do jeho podstaty.
Řešená úloha č.
1
Vyřešte v C binomickou rovnici
.
Řešení.
Z uvedeného je zřejmé, že řešením je
.
Poznámka
Z výsledku předchozí úlohy plyne populární, ale nepřesná „definice“ imaginární jednotky i jako "odmocniny z mínus jedné".