1.4.3 Goniometrický tvar komplexního čísla
Argument komplexního čísla.

Na obrázku je znázorněno komplexní číslo  v Gaussově rovině. Zavedeme polární souřadnice a  vztahy , . Veličina  má význam vzdálenosti bodu  od počátku souřadnic a  představuje úhel v radiánech, který svírá průvodič bodu  s kladným směrem osy .

Protože platí rovnice , můžeme veličinu  ztotožnit s absolutní hodnotou komplexního čísla , tak jak byla definována v kapitole 5.1.

Definice

Funkci, která komplexnímu číslu  přiřazuje odpovídající úhel , nazýváme argument (řidčeji amplituda) komplexního čísla z a značíme .

Poznámka

a)      Argument  komplexního čísla  je určen až na libovolný násobek , hovoříme o tzv. mnohoznačné funkci. I když tento termín obsahuje určitý protimluv (funkce je standardně definována jako zobrazení, tzn. každému vzoru přísluší maximálně jeden obraz), v teorii komplexní proměnné je užitečný a běžně se používá (viz např. funkci komplexní odmocnina).

b)      Někdy se potřebujeme výše uvedené nejednoznačnosti vyhnout. Proto definujeme tzv. hlavní hodnotu argumentu komplexního čísla  jako hodnotu z intervalu  (na střední škole ) a značíme ji velkým počátečním písmenem: Arg z.

Platí vztah .

Goniometrický tvar komplexního čísla.

Definice

Zápis komplexního čísla z v podobě , kde , , nazýváme goniometrickým tvarem komplexního čísla .

Poznámka

a)      Že je uvedený tvar možný, dokážeme snadno použitím vztahů  a .

b)      Komplexní jednotku poznáme v goniometrickém tvaru snadno. Protože pro ni platí , musí mít tvar .
Přechod mezi algebraickým a goniometrickým tvarem.

Převod z goniometrického tvaru na algebraický je dán rovnicemi , .

Převod z algebraického tvaru na goniometrický je trochu komplikovanější.

Absolutní hodnota problémy nedělá: .

Argument  je dán řešením některé z goniometrických rovnic , , , ale protože toto řešení obecně není jednoznačné, je nutné ještě zvolit správný kvadrant, např. pomocí znamének reálné a imaginární časti čísla z.

Řešená úloha č. 1

Převeďte na goniometrický tvar číslo .

Řešení.

Nejprve modul (absolutní hodnota): . Argument  můžeme hledat např. jako jedno z řešení goniometrické rovnice , odkud . Protože obě složky komplexního čísla z jsou záporné, musí být argument z třetího kvadrantu, tzn. .

Závěr: . Mohli bychom použít i argument, který se od uvedeného liší o libovolný celočíselný násobek , např. .

Součin komplexních čísel v goniometrickém tvaru.

Věta

Jsou dána dvě komplexní čísla ,  v goniometrickém tvaru. Pro jejich součin platí

,

tzn. modul (absolutní hodnota) součinu je roven součinu modulů (absolutních hodnot) jednotlivých činitelů a argument součinu je roven součtu (!) argumentů jednotlivých činitelů.

Důkaz.

Stačí roznásobit závorky a použít součtové vzorce pro  a :

. Cbd.

Poznámka

a)      Při použití goniometrickém tvaru je názorně vidět geometrický význam násobení v komplexním oboru. Vynásobíme-li nějaké komplexní číslo komplexním číslem , bude výsledek oproti původnímu stavu pootočen o úhel  (počítáno ve směru kladném, tzn. proti směru chodu hodinových ručiček) a bude -kráte dále od počátku souřadnic.

b)      Speciálně násobit komplexní jednotkou  znamená pootočit původní číslo o úhel  kolem počátku v kladném směru.

c)      Násobení imaginární jednotkou  znamená pootočení kolem počátku o úhel  v kladném směru ( ).

Převrácená hodnota a podíl komplexních čísel v goniometrickém tvaru.

Věta

Pro libovolné nenulové komplexní číslo z platí:

,

tzn. převrací se modul (absolutní hodnota) a argument se mění na opačný ( , ).
Důkaz.

. Cbd.

Věta

Pro podíl dvou komplexních čísel v goniometrickém tvaru platí:

,

tj. dělíme moduly (absolutní hodnoty) a odečítáme argumenty.
Důkaz.

Aplikací vzorce pro převrácenou hodnotu komplexního čísla a pro součin komplexních čísel v goniometrickém tvaru.

Řešená úloha č. 2

Vypočtěte součin a podíl komplexních čísel v goniometrickém tvaru:

, .

Řešení.

.

.
Přirozená mocnina komplexního čísla v goniometrickém tvaru.

Věta (Moivreova)

Nechť , . Pak platí:

.

Slovně: modul n-té mocniny komplexního čísla je rovna n-té mocnině modulu tohoto čísla a argument n-té mocniny komplexního čísla je roven n-násobku argumentu původního čísla.

Poznámka

1.  Moivreova čteme „moávrova“.

2. Tato věta je jednoduchým přímým důsledkem věty pro součin čísel v goniometrickém tvaru.

Řešená úloha č. 3

Pomocí Moivreovy věty vypočítejte několik mocnin imaginární jednotky.

Řešení.

, ,

, ,

 atd.