1.4.4 Exponenciální tvar komplexního čísla Komplexní exponenciála.
Poznámka
. Obdobně definujeme
exponenciální funkci v komplexním oboru. 
Definice Exponenciální funkci komplexní proměnné
definujeme nekonečnou
mocninnou řadou
,
kde 
je známé Eulerovo číslo (základ přirozených logaritmů).
Poznámka
Při aplikacích nebudeme počítat konkrétní hodnoty 
podle definice,
ale daleko jednodušším způsobem. Uvedená definice má pro nás pouze teoretický
význam.
Věta
Všechny věty uvedené v kapitole o reálné exponenciální funkci platí
i pro exponenciálu komplexní, např. 
apod.
Eulerův vzorec.
Věta
Exponenciální funkci imaginárního argumentu ( 
) lze vyjádřit
tzv. Eulerovým
vzorcem
.
Poznámka
V učebnicích se často uvádí ještě vzorec 
, který je jednoduchým
důsledkem vzorce předchozího.
Věta
Hodnotu lze v libovolném
čísle 
vypočítat pomocí
reálné exponenciály a reálných funkcí sinus a
kosinus podle vzorce
.
Důkaz.Nejprve rozepíšeme exponent na algebraický tvar 
, pak aplikujeme
větu o součtu v exponentu 
a nakonec použijeme
Eulerův vzorec (to můžeme, protože 
) 
. Cbd.
Komplexní exponenciální funkce má ovšem i vlastnosti, které bychom u reálné exponenciální funkce hledali marně. Následující věta plyne z věty předchozí a z
-periodicity funkcí
sinus a kosinus.
Věta
Komplexní exponenciální funkce je 
-periodická, tj.
.
Exponenciální tvar komplexního čísla.
Definice
Exponenciálním tvarem komplexního čísla rozumíme jeho vyjádření ve tvaru
,
kde 
a 
jsou již známé
veličiny modul a argument komplexního čísla z.
Poznámka
a) K odůvodnění, že uvedený tvar je vůbec možný, stačí vyjít z goniometrického
tvaru 
a dosadit
za závorku podle Eulerova vzorce ( 
).
b)
Exponenciální tvar je velmi blízký goniometrickému, v obou
vystupují tytéž veličiny r a 
. Výhodou exponenciálního
tvaru je především jeho stručnost (zápis je tvořen pouze čtyřmi znaky oproti
zhruba třinácti znakům u goniometrického tvaru). Goniometrický tvar je v podstatě
jakási přechodová forma mezi tvarem algebraickým a exponenciálním a při
aplikacích vyšší matematiky se používá z uvedených tří tvarů nejméně.
Přechod mezi exponenciálním tvarem a ostatními tvary komplexních čísel.
Přechod mezi exponenciálním a algebraickým tvarem (v obou směrech) je v podstatě stejný problém jako přechod mezi goniometrickým a algebraickým tvarem. Jedná se vždy o vztah mezi reálnou a imaginární složkou komplexního čísla na jedné straně a modulem a argumentem tohoto čísla na druhé straně.
Přechod mezi exponenciálním a goniometrickým tvarem je triviální záležitost (jde jen o jiný přepis, není nutné nic počítat).
Součin a podíl komplexních čísel v exponenciálním tvaru.
Exponenciální tvar je nejvýhodnější pro vyjádření součinů a podílů komplexních čísel. Vzorce
, 
, 
plynou přirozeně ze známých vlastností exponenciální funkce a není je třeba je už dále odůvodňovat, jako tomu bylo u goniometrického tvaru.