1.2.3 Exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice
Exponenciální rovnice.

Definice

Exponenciální rovnicí nazýváme takovou rovnici, která obsahuje výraz s neznámou v exponentu kladného základu.

Metoda řešení.

Obecná metoda řešení neexistuje, záleží na konkrétním tvaru. Často je výhodný následující postup:

1)      Vhodnými úpravami rovnici převedeme na tvar .

2)      Logaritmujeme rovnici při základu a, čímž dostaneme rovnici .

3)      Získanou rovnici vyřešíme.

4)      Zkouškou a porovnáním s definičním oborem vyloučíme neplatné kořeny, vzniklé důsledkovými neekvivalentními úpravami.

Uvedená metoda není, jak bylo již zmíněno, univerzálním návodem na všechny typy exponenciálních rovnic. Dá se však obecně říci, že postup řešení musí nutně v některém kroku obsahovat logaritmování.

Řešená úloha č. 1

Řešte rovnici .

Řešení.

Logaritmujeme obě strany rovnice např. přirozeným logaritmem (je možné samozřejmě použít logaritmus o libovolném základu): . Vzniklá rovnice je lineární a jejím řešením je . Vzniklý výraz již rozumně upravit nelze, maximálně jej můžeme převést na tvar , který je ale pro číselný výpočet méně vhodný. Proveďme ještě zkoušku, i když jsme použili pouze ekvivalentní úpravy a definičním oborem původních výrazů je množina všech reálných čísel.

 

a tedy . Nalezený kořen  je platný.

Logaritmická rovnice.

Definice

Logaritmickou rovnicí nazýváme takovou rovnici, která obsahuje výraz s neznámou v argumentu logaritmu.

Metoda řešení.

Obecná metoda řešení ani zde neexistuje, záleží na konkrétním tvaru. Často je výhodný následující postup:

1)      Vhodnými úpravami rovnici převedeme na tvar .

2)      Odlogaritmujeme rovnici při základu a, dostaneme rovnici .

3)      Získanou rovnici vyřešíme.

4)      Zkouškou a porovnáním s definičním oborem vyloučíme neplatné kořeny, vzniklé důsledkovými neekvivalentními úpravami.

Uvedená metoda není, jak bylo již zmíněno, univerzálním návodem na všechny typy logaritmických rovnic. Dá se však obecně říci, že postup řešení musí nutně v některém kroku obsahovat odlogaritmování.

Řešená úloha č. 2

Řešte v  rovnici .

Řešení.
Pravou stranu upravíme ( ) a celou rovnici odlogaritmujeme. Dostaneme lineární rovnici , jejímž řešením je . Zkouška: .

Exponenciální a logaritmické nerovnice.

Definice

Exponenciální, resp. logaritmickou nerovnicí nazýváme takovou nerovnici, která obsahuje výraz s neznámou v exponentu, resp. logaritmu kladného základu.

Metoda řešení.
Exponenciální a logaritmické nerovnice řešíme obdobně jako rovnice, tzn. převedeme na vhodný tvar a zbavíme se exponenciální funkce, resp. logaritmu, logaritmováním, resp. odlogaritmováním. Výslednou nerovnici řešíme vhodnou metodou. Při logaritmování, resp. odlogaritmování je ale nutné dávat pozor na znaménko nerovnosti, protože, jak už víme, exponenciála a logaritmus jsou rostoucí pro  a klesající pro .

Řešená úloha č. 3

Řešte v  obecnou nerovnici , .

Řešení.
Pro  je logaritmus rostoucí, proto .

Pro  je logaritmus klesající, proto .

Řešená úloha č. 4

Řešte v  obecnou nerovnici , .

Řešení.
Pro  je exponenciála rostoucí, proto .

Pro  je exponenciála klesající, proto .