1.2.1 Exponenciální funkce

Definice

Exponenciální funkcí (zkráceně exponenciálou) je každá funkce tvaru , kde , , . Číslo a je tzv. základ,  exponent.


Poznámka

a)      Jedná se vlastně o obecnou mocninu  s přehozeným významem veličin  a . U obecné mocniny je proměnnou základ a parametrem exponent, u exponenciální funkce je pevným parametrem základ a exponent proměnnou.

b)      Základ  vylučujeme z toho důvodu, že funkce je funkce konstantní a má některé vlastnosti dosti odlišné od vlastností ostatních exponenciálních funkcí, nikoliv proto, že by tento výraz nebyl dobře definován.

c)      Zvláštní význam má exponenciální funkce, jejíž základ je tzv. Eulerovo číslo nebo-li přirozený základ (iracionální číslo). Kromě zápisu  se pro ni často používá zápis , zvláště tehdy, má-li exponent složitější strukturu.


Graf exponenciální funkce.

Graf exponenciální funkce pro základ větší i menší než jedna je na obrázku ( ): Pro rychlou orientaci v různých problémech je bezpodmínečně nutné znát jeho tvar zpaměti a umět si ho kdykoliv vybavit.


Základní vlastnosti exponenciální funkce.

Věta

Exponenciální funkce je definována pro všechna reálná čísla, je prostá, ryze monotónní, pro  rostoucí, pro  klesající, omezená pouze zdola (např. nulou), kladná, graf prochází body [0, 1] a [1, a].


Důležité vzorce.

Věta

Pro každé ,  platí:

, , , , , .