Absolutní a relativní konvergence řad

Poznámka

Nekonečné řady se někdy chovají podstatně jinak než konečné součty. Např. řada je konvergentní (všechny členy jsou nulové), ale řady a divergují. Dále, řada, která vznikne vynecháním závorek, tj. řada také není konvergentní.

Vidíme tedy, že nekonečné řady se chovají někdy značně odlišně od konečných součtů, např. si nemůžeme obecně dovolit libovolně odstraňovat závorky a měnit pořadí členů. K bližšímu objasnění této otázky je nutné nejprve zavést dvě nové definice.

Definice (absolutní a relativní konvergence)

Říkáme, že řada konverguje absolutně, jestliže konverguje řada absolutních hodnot . Pokud řada konverguje, ale řada nikoliv, říkáme, že řada konverguje relativně (neabsolutně).

Příklad

Řada má součet ln2 a je tedy relativně konvergentní, protože již víme, že řada absolutních hodnot, což je harmonická řada, diverguje. Uvedená řada, ve které se střídají znaménka členů, se nazývá alternující řada.

Věta.

Konverguje-li řada , konverguje také řada (tj. z absolutní konvergence plyne „normální“ konvergence).

Věta

Je-li řada absolutně konvergentní, pak řada, která vznikne z této řady přerovnáním (tzn. změnou pořadí členů) je opět absolutně konvergentní a má týž součet.

Věta

Je-li řada relativně konvergentní, pak jejím vhodným přerovnáním lze získat řadu s předem daným součtem nebo řadu divergentní.