13.3 Určení potenciálu pomocí křivkových integrálů

Věta

Je-li vektorové pole    spojitě diferencovatelné na oblasti  ,  jsou následující tvrzení ekvivalentní:

·        F má potenciál,
·        pro každou uzavřenou křivku    platí  ,
·        pro každé dvě křivky    a    splňující    a    platí  .

Potenciál  U  pole  F  pak lze psát ve tvaru

,

kde  j je libovolná křivka spojující předem zvolený (libovolný ovšem) bod   s bodem  x.

Poznámka

Ve třetí odrážce  předcházející věty vystupují křivky se společnými počátečními a koncovými body. V této odrážce se tedy říká, že uvedené křivkové integrály nezávisejí na samotných křivkách, ale jen na jejich okrajových bodech.

Z této podmínky dále vyplývá, že integrální předpis pro potenciál je korektní. Hodnota  U(x)  nezávisí na zvolené křivce  j,  ale jen na jejím pevně, leč libovolně zvoleném počátečním bodě    a na bodě koncovém, x. Libovůle, kterou máme při volbě bodu  ,  odráží nejednoznačnost potenciálu zmíněnou v úvodu této kapitoly.

Poznámka

Pro vektorové pole F v rovině vyplývá z druhé odrážky výše uvedené věty a věty Greenovy, že postačující podmínkou jeho potenciálnosti na jednoduše souvislé oblasti je rovnost křížových derivací

.

Podobně je postačující podmínkou potenciálnosti vektorového pole F v (trojrozměrném) prostoru, založenou na tzv. Stokesově větě, současné splnění rovností

,  ,  ,

nebo zkráceně

,

kde rot označuje vektorový diferenciální operátor rotace definovaný v kapitole 6.4.