2.1 Vektory - základní definice

2.1.1 Vektorový prostor

Definice

Vektorovým prostorem nad množinou reálných čísel (skalárů)  je neprázdná množina V, ve které jsou definovány dvě operace:

·        Sčítání vektorů, které každé dvojici vektorů ,  z V přiřazuje vektor  z V.
·        Násobení vektoru skalárem, které každému skaláru k z  a vektoru  z V přiřazuje vektor  z V.

Tyto operace musí splňovat následující podmínky:

·         (komutativnost sčítání vektorů).
·         (asociativnost sčítání vektorů).
·        Existuje jediný vektor  takový, že  pro každé  z V (nulový vektor).
·        Pro každý vektor  z V existuje jediný vektor  takový, že  (opačný vektor).
·        Pro každé k, m z  a každý vektor  z V platí (asociativnost násobení skalárem).
·        Pro každé k, m z  a každý vektor  z V platí  (distributivní zákon).
·        Pro každé k z  a každé ,  z V platí  (distributivní zákon).
·        Pro každý vektor  z V platí  (jednotkový prvek pro násobení skalárem).

Poznámka

·        Množinou skalárů může být také množina komplexních čísel , obecně jakékoliv tzv. číselné těleso, což je jistá algebraická struktura, která je zobecněním pojmu množiny reálných čísel. Pro větší konkrétnost se bude dále hovořit o reálných číslech, ale pro většinu následujících tvrzení není tento předpoklad nutný.

·        Nulový vektor se v praxi značí obyčejnou nulou (číslem).

Příklad

Velmi důležitým příkladem vektorového prostoru je n-násobný kartézský součin , tzn. množina všech uspořádaných n–tic reálných čísel, ve které jsou operace sčítání a násobení skalárem definovány takto:

(x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn) ,

k (x1, x2, ..., xn) = (k x1, k x2, ..., k xn).

Věta (rozdíl vektorů)

Ke každým dvěma vektorům ,  z V existuje právě jeden vektor  takový, že platí:

.

Definice

Vektor x z předcházející věty se nazývá rozdílem vektorů ,  a značí se .

Věta

Platí: . Odečíst vektor je totéž jako přičíst vektor opačný.

2.1.2 Norma vektoru

Definice

Normou vektoru rozumíme reálnou funkci  na vektorovém prostoru V, platí-li pro libovolné dva vektory  z V a libovolný skalár k:

·         (nezápornost).
·          (nulovost pouze pro nulové vektory).
·         (trojúhelníková nerovnost).
·         (homogenita).

Příklad

Typickým příkladem normy je tzv. Euklidovská norma, definovaná v  jako odmocnina ze součtu druhých mocnin souřadnic vektoru:

.

Čtenář si může snadno dokázat, že splňuje potřebné axiomy.

Poznámka

·        Vektorový prostor vybavený normou nazýváme normovaným vektorovým prostorem.

·        Někdy, např. u třídimenzionálních vektorů v geometrii či fyzice, se norma značí podobně jako absolutní hodnota, tj. . V tomto případě se většinou používá název velikost nebo délka vektoru.

·        Každá norma indukuje tzv. metriku, tj. reálnou funkci  vektorů  z V takto: . Metrika je zobecněním geometrického pojmu vzdálenosti dvou bodů (daných jejich polohovými vektory) na libovolný vektorový prostor.