2.4 Vektorový součin a jeho aplikace

---

2.4.1 Vektorový součin

Definice

Nechť je dán 3dimenzionální vektorový prostor V s ortonormální bází . Vektorovým (vnějším) součinem vektorů ,  rozumíme vektor

.

---

Poznámka

·        Vektorový součin se značí, jak už bylo ukázáno, křížkem , a to na rozdíl od skalárního součinu, který se značí tečkou. Není tedy možno tyto symboly zaměňovat, jak tomu je u součinu dvou čísel.

·        Vektorový součin je definován pouze v třírozměrném prostoru. Jedná se o daleko méně obecný pojem, než je skalární součin.

---

Poznámka

·        V rámci geometrického (fyzikálního) pohledu je možné ekvivalentně definovat vektorový součin  jako vektor, který je pravotočivě kolmý k vektorům ,  a jehož velikost je rovna součinu , kde gama je úhel mezi vektory , .Výraz „pravotočivě kolmý“ znamená, že směr výsledného vektoru je dán pravidlem pravé ruky: položíme pravou ruku malíkovou hranou na rovinu vektorů ,  tak, že prsty vymezují ostrý úhel od vektoru  k vektoru ; pak vztyčený palec pravé ruky ukazuje orientaci vektorového součinu .

·        Velikost vektorového součinu  je rovna obsahu rovnoběžníku určeného vektory , .

---

Věta

Pro vektorový součin platí:

·         (antikomutativnost).
·         (asociativnost násobení skalárem).
·         (distributivnost).

---

2.4.2 Smíšený součin

Definice

Smíšeným součinem třídimenzionálních vektorů  nazýváme číslo  a značíme jej .

---

Věta

·        Pro smíšený součin platí: .

·        Absolutní hodnota smíšeného součinu  udává objem rovnoběžnostěnu daného vektory .

---

2.4.3 Dvojný součin

Definice

Dvojným součinem třídimenzionálních vektorů  nazýváme vektor .

---

Věta

·        Dvojný součin lze vyjádřit i bez vektorového násobení: .

·        Dvojný součin (a tedy ani vektorové násobení) není asociativní, tzn. obecně je .

---