2.2 Lineární kombinace a její aplikace

---

2.2.1 Lineární kombinace vektorů

Definice

Jestliže pro nějaký vektor  platí rovnost

,

pak vektor  nazýváme lineární kombinací vektorů s koeficienty . Číslo n je lib. přirozené (a tedy konečné) číslo.

---

2.2.2 Lineární nezávislost

Definice

Množina vektorů U daného vektorového prostoru V se nazývá lineárně nezávislou, jestliže žádný její prvek   není lineární kombinací jiných prvků z U. V opačném případě je množina U lineárně závislá.

---

2.2.3 Báze vektorového prostoru

Definice

Bází vektorového prostoru nazýváme takovou jeho podmnožinu B, pro kterou platí:

·        B je lineárně nezávislá množina;

·        každý vektor  z V lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z B.

Počet prvků báze B daného vektorového prostoru V nezávisí na konkrétní volbě báze. Nazývá se dimenzí vektorového prostoru a značí se dim(V).

---

Poznámka

·        Místo pojmu „počet prvků“ je přesnější pojem „kardinální číslo“, který je obecnější a lze jej použít také v případě nekonečných množin. Pro konečné množiny jsou oba pojmy totožné.

·        Je-li báze B prostoru V tvořena n vektory , pak vektor , kde n-tice čísel  je určena jednoznačně. Libovolný vektorový prostor V dimenze n je tedy možno vzájemně jednoznačně zobrazit na množinu všech uspořádaných n-tic reálných čísel . Mluvíme o souřadnicích vektoru  v bázi B. Volba báze znamená vlastně volbu souřadného systému. Odtud také plyne ne zcela přesná formulace, že „vektor je n-tice čísel“.

---

Příklad

V prostoru  jsou bází např. množiny vektorů B₁ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, B₂ = {(12, 0, 0), (0, -4.2, 0), (0, 0, 8.4)}, B₃ = {(1, 1, 0), (0, 1, -1), (1, 1, 1)} apod.

---