2.6 Základní maticové operace 2.6.1 Transpozice matice
Definice
Transponovanou maticí k matici 
typu
nazýváme
matici 
typu
takovou,
kterou dostaneme z matice 
záměnou
(transpozicí) řádků a sloupců. Označíme-li prvek
v i-tém řádku a k-tém sloupci transponované matice 
,
pak můžeme psát: 
.
Poznámka
Jinak
řečeno, transponovaná matice 
vznikne
„překlopením“ matice 
kolem
její hlavní diagonály.
Věta
Pro transpozici
matic platí 
.
Definice
Pokud
pro čtvercovou matici 
platí
rovnost 
,
hovoříme o symetrické (souměrné)
matici. Pokud
pro čtvercovou matici 
platí
rovnost 
,
hovoříme o antisymetrické matici.
Věta
Z definice je zřejmé, že
pro prvky symetrické matice platí 
. Obdobně pro prvky
antisymetrické matice platí 
, odkud dále plyne,
že diagonální prvky antisymetrické matice musí být nulové.
2.6.2 Součet matic
Definice
Matice
je
součtem matic 
,
právě
tehdy, jsou-li všechny tři matice téhož typu a platí-li, že každý prvek matice
je součtem stejnolehlých prvků matic 
,
.
Matematický
zápis: 
.
Věta
Pro sčítání matic platí:
·
(asociativnost).
·
(komutativnost).
·
.
2.6.3 Násobení matice číslem
Definice
Součinem matice 
a
čísla 
je
matice 
stejného
typu jako matice 
,
pro jejíž prvky platí 
.
Matematický
zápis: 
.
Věta
Pro násobení matice číslem platí:
·
(distributivnost).
·
(distributivnost).
·
(asociativnost).
·
.
Poznámka
Dá se snadno ukázat, že množina všech reálných, resp. komplexních matic s výše uvedenými operacemi sčítání matic a násobení matice reálným, resp. komplexním číslem tvoří vektorový prostor. Nulovým vektorem tohoto prostoru je nulová matice 0, opačným vektorem k vektoru (matici) A je vektor (matice) -A.
2.6.4 Maticové násobení
Definice
Součinem matice 
typu 
a
matice 
typu
nazýváme
matici 
typu
,
pro jejíž prvky platí: 
.
Zapisujeme 
nebo
i s tečkou 
.
Poznámka
· Součin matic je definován pouze tehdy, je-li počet sloupců první (levé) matice roven počtu řádků druhé (pravé) matice.
·
Prvek
součinu
je
vlastně skalárním součinem i-tého řádku matice 
a
k-tého sloupce matice 
.
·
Máme-li
součin 
,
říkáme, že matice 
násobí
matici 
zleva
nebo také, že matice 
násobí
matici 
zprava.
Toto rozlišení je nutné, neboť neplatí komutativní
zákon, tzn. obecně 
.
Věta
Pro násobení matic platí:
·
(jednotkovým
prvkem je jednotková matice).
·
,
(distributivnost).
·
(asociativnost).
·
.