10.2 Lokální křivočará báze

Poznámka

Od kartézských souřadnic na    je možno přejít k souřadnicově invariantnímu zápisu, uvědomíme-li si, že    je lineární vektorový prostor a kartézské souřadnice  x_k  jsou souřadnicemi vzhledem k speciálně zvolené ortonormální bázi  e₁, …, e_n,  kde

,

,

.

Pak je ovšem možno pro polohový vektor libovolného bodu psát

.

Poznámka

Z toho, co bylo uvedeno v kapitole 5.1, plyne, že vektor

je tečným vektorem ke  k-té  souřadnicové čáře v bodě  .  Jeho souřadnice v kartézské bázi  e_i  odpovídají elementům k-tého sloupce Jacobiho matice

a ta má podle předpokladu o prostotě zobrazení   sloupce lineárně nezávislé. Musí tedy nutně platit

·        ,

·        vektory t_k jsou lineárně nezávislé.

Vektory  t_k  tvoří proto rovněž bázi na  ,  obecně však odlišnou od kartézské báze  e_i. Tyto vektory je možno navíc normovat

a získat tak novou bázi na    tvořenou opět vektory jednotkové délky. Vše je shrnuto do následujícího obrázku:

Definice

Soustavu vektorů      nazýváme lokální křivočarou bází.

Poznámka

Lokální křivočará báze se mění místo od místa. V různých bodech     mají vektory    obecně různý směr. Proto název lokální, který má tuto vlastnost zdůraznit.