10. 1 Křivočaré souřadnice

V dalším se zabýváme obecnými souřadnicovými soustavami na    a budeme pracovat s veličinami s jedním nebo i více indexy. Aniž to budeme explicitně uvádět, tyto indexy mohou nabývat hodnot  .  V zájmu formálního zjednodušení uváděných vztahů budeme důsledně využívat Einsteinovu sumační konvenci.

Definice

Označme    kartézské souřadnice na  .  Nechť je definováno spojitě diferencovatelné a vzájemně jednoznačné zobrazení    ()

.

Pak n-tice čísel    nazveme křivočarými souřadnicemi na .

Poznámka

Obvykle budeme používat zkrácené názvy kartézské souřadnice x_i  a  křivočaré souřadnice x_i.  Vždy budeme mít ale na mysli odpovídající uspořádané n-tice    a  .

Přechod mezi kartézskými a křivočarými souřadnicemi je dán zobrazením  f,  . V následujícím výkladu budeme pro jednoduchost psát  ,  jak je to běžné v přírodních a technických vědách, nebo dokonce stručněji .

Protože zobrazení  f je podle předpokladu prosté, je možno pro zadané kartézské souřadnice zvoleného bodu najít odpovídající souřadnice křivočaré jednoznačně – . V dalším ovšem budeme používat stručnější zápis  .

Definice

Nechť    jsou kartézské souřadnice pevně zvoleného bodu z    a    jeho křivočaré souřadnice. Pak křivku

nazveme k-tou souřadnicovou čárou v bodě  .

Poznámka

Pohybujeme-li se po k-té souřadnicové čáře, mění se pouze k-tá křivočará souřadnice  ,  zatímco ostatní zůstávají neměnné. Souřadnicové čáry tedy hrají v křivočaré souřadnicové soustavě roli os souřadnic kartézských. Je-li ovšem zobrazení  f  nelineární, nejedná se o přímky, ale o „křivé čáry“. Odtud pochází tedy název křivočaré souřadnice.