12.3 Plošný integrál druhého druhu

Definice

Nechť  n  je pole jednotkových normálových vektorů definované na ploše    a spojité na celé oblasti  S.  Dále budiž  spojité vektorové pole definované na nějakém okolí každého bodu geometrického obrazu  .  Pak předpisem [1]

definujeme plošný integrál druhého druhu pole  J  na ploše  s.  V případě uzavřené plochy obvykle volíme  n  jako jednotkový vektor vnější normály a používáme se symbol .

Poznámka

Z definičního vztahu pro plošný integrál druhého druhu formálně plyne

ds = n ds.

Elementu plochy  ds  přiřazujeme tedy prostřednictvím normálového vektoru  n  i směr. To umožňuje u zadané plochy odlišit oblasti „před plochou“ a „za plochou“, což je velmi užitečné v technických a přírodovědných aplikacích – např. při počítání průtoku nejrůznějších veličin vybranou plochou.

Pro obecnou jednoduchou hladkou plochu můžeme vždy zkonstruovat dvě pole jednotkových normálových vektorů zmiňovaných v předcházející definici. Tato pole se v každém bodě geometrického obrazu    liší pouze znaménkem. Volba jedné konkrétní možnosti pak zadává konkrétní orientaci zadané plochy. V případě uzavřených ploch máme takto na výběr mezi vektory vnější a vnitřní normály, obvykle se ale používají jen vnější normálové vektory.

Poznámka (nezávislost plošného integrálu druhého druhu na parametrizaci)

Z věty o nezávislosti plošného integrálu prvního druhu na parametrizaci plochy, na které integrál počítáme vyplývá obdobné tvrzení i pro plošné integrály druhého druhu. Jsou-li totiž na plochách  s  a  w  lišících se pouze parametrizací zadána pole normálových vektorů, která jsou totožná v každém bodě  ,  vyplývá z věty o parametrizační nezávislosti pro integrály prvního druhu

,

a tedy podle definice i

.